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Se desea construir un tambor cilíndrico de 200 litros de capacidad sin tapa. ¿Cuáles son el radio y la altura del tambor de modo que se utilice la menor cantidad posible de material?

Sagot :

Veamos. Se requieren conocimientos del cálculo de derivadas.

Sean R y H el radio de la base y la altura del cilindro, respectivamente.

Superficie del cilindro sin tapa:  superficie lateral más base.

S = 2 π R H + π R²

Por otro lado V = π R² H = 200 litros = 200 dm³

Expresamos la superficie en función del radio: H = 200 / (π R²)

S = 2 π R . 200 / (π R²) + π R²

S = 400 / R + π R²

Una función es mínima o máxima en los puntos en que su derivada es nula.

Derivamos respecto de R:

S' = - 400 / R² + 2 π R = 0; despejamos R:

R³ = 200 / π

R ≅ 3,99 dm = 39,9 cm

H = 200 / (π , 3,99²)

H = 3,99 dm = 39,9 cm

S = 2 π . 3,99 . 3,99 + π . 3,99²

S = 150 dm²

Adjunto gráfico R - S con el punto crítico destacado.

Saludos.

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