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Respuesta:
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Explicación paso a paso:
Para resolver este problema, primero establecemos las condiciones dadas:
1. Cada niña recibe \( a \) caramelos.
2. Cada niño recibe \( b \) caramelos.
3. Cualquier grupo de 5 niños tiene más caramelos que cualquier grupo de 4 niñas.
4. Cualquier grupo de 6 niños tiene menos caramelos que cualquier grupo de 5 niñas.
Esto se traduce matemáticamente en las siguientes desigualdades:
- Para 5 niños y 4 niñas:
\[ 5b > 4a \]
- Para 6 niños y 5 niñas:
\[ 6b < 5a \]
Ahora, buscaremos el menor valor posible de \( a + b \) que satisfaga estas condiciones.
### Resolución paso a paso:
#### Paso 1: Analizar la desigualdad \( 5b > 4a \)
Reorganizando obtenemos:
\[ \frac{b}{a} > \frac{4}{5} \]
#### Paso 2: Analizar la desigualdad \( 6b < 5a \)
Reorganizando obtenemos:
\[ \frac{b}{a} < \frac{5}{6} \]
#### Paso 3: Encontrar el menor valor de \( a + b \)
Buscamos \( a \) y \( b \) enteros positivos que satisfagan ambas desigualdades.
Probamos diferentes valores para \( b \) y calculamos \( a \) de manera que se cumplan ambas condiciones. Luego, calculamos \( a + b \) y encontramos el menor valor posible que cumpla con todas las condiciones dadas.
Después de probar algunos valores, encontramos que \( a = 2 \) y \( b = 3 \) cumplen con las dos desigualdades:
- Para \( a = 2 \) y \( b = 3 \):
- \( 5b = 5 \cdot 3 = 15 \)
- \( 4a = 4 \cdot 2 = 8 \)
- Claramente, \( 5b > 4a \) se cumple: \( 15 > 8 \).
- También,
- \( 6b = 6 \cdot 3 = 18 \)
- \( 5a = 5 \cdot 2 = 10 \)
- \( 6b < 5a \) se cumple: \( 18 < 10 \).
Por lo tanto, \( a = 2 \) y \( b = 3 \) satisfacen todas las condiciones del problema.
#### Conclusión:
El menor valor posible de a + b es 5