Para analizar la función \( f(x) = 4x^2 + 12x + 6 \), podemos hacer lo siguiente:
1. **Identificar el tipo de función:**
- Esta es una función cuadrática de la forma \( f(x) = ax^2 + bx + c \), donde \( a = 4 \), \( b = 12 \), y \( c = 6 \).
2. **Encontrar los puntos críticos y el vértice:**
- El vértice de una parábola dada por \( ax^2 + bx + c \) se encuentra en \( x = -\frac{b}{2a} \).
\[
x = -\frac{12}{2 \cdot 4} = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}
\]
Para encontrar el valor de \( f(x) \) en el vértice:
\[
f\left(-\frac{3}{2}\right) = 4\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 12\left(-\frac{3}{2}\right) + 6
\]
\[
f\left(-\frac{3}{2}\right) = 4 \cdot \frac{9}{4} + 12 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + 6
\]
\[
f\left(-\frac{3}{2}\right) = 9 - 18 + 6
\]
\[
f\left(-\frac{3}{2}\right) = -3
\]
Por lo tanto, el vértice de la parábola está en \(\left(-\frac{3}{2}, -3\right)\).
3. **Determinar la concavidad:**
- El coeficiente de \( x^2 \) es \( 4 \), que es positivo, así que la parábola se abre hacia arriba.
4. **Encontrar las raíces (si existen):**
- Para encontrar las raíces, resolvemos la ecuación \( 4x^2 + 12x + 6 = 0 \) usando la fórmula cuadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \).
\[
a = 4, \quad b = 12, \quad c = 6
\]
\[
x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6}}{2 \cdot 4}
\]
\[
x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 96}}{8}
\]
\[
x = \frac{-12 \pm \sqrt{48}}{8}
\]
\[
x = \frac{-12 \pm 4\sqrt{3}}{8}
\]
\[
x = \frac{-12}{8} \pm \frac{4\sqrt{3}}{8}
\]
\[
x = -\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Las raíces de la ecuación son:
\[
x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{y} \quad x = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
5. **Graficar la función:**
- La parábola tiene su vértice en \(\left(-\frac{3}{2}, -3\right)\) y se abre hacia arriba.
- Las raíces son \(-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\) y \(-\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\).
La información resumida sobre la función es:
- Vértice: \(\left(-\frac{3}{2}, -3\right)\)
- Raíces: \(-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\) y \(-\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- La parábola se abre hacia arriba.
Esta es una parábola estándar con las características mencionadas.
