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Para graficar la función \( y = x^2 + 5x + 1 \) en el intervalo \( -4 < x < 0 \), primero identificamos los pasos a seguir:
1. Encontrar los puntos críticos dentro del intervalo dado.
2. Determinar si la función tiene un mínimo o un máximo en el intervalo.
3. Graficar la función en el intervalo especificado.
Para encontrar los puntos críticos, calculamos la derivada de la función:
[tex]\[ y = x^2 + 5x + 1 \][/tex]
Calculamos la derivada respecto a \( x \):
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = 2x + 5 \][/tex]
Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:
[tex]
\[ 2x + 5 = 0 \] \\
\[ 2x = -5 \] \\
\[ x = -\frac{5}{2} \]
[/tex]
El único punto crítico dentro del intervalo dado es [tex]\( x = -\frac{5}{2} \)[/tex]
Dado que la derivada es una función lineal con pendiente positiva, podemos concluir que la función \( y = x^2 + 5x + 1 \) tiene un mínimo local en \( x = -\frac{5}{2} \) dentro del intervalo \( -4 < x < 0 \).
Finalmente, procedemos a graficar la función en el intervalo \( -4 < x < 0 \), resaltando el mínimo local en \( x = -\frac{5}{2} \).