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Respuesta:
¡Por supuesto! Vamos a analizar la función cuadrática (y = -x^2 + 3x - 2):
a) Raíces reales enteras: Para encontrar las raíces, igualamos la función a cero y resolvemos la ecuación: [ -x^2 + 3x - 2 = 0 ]
Utilizando la fórmula cuadrática: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
Calculamos el discriminante (\Delta = b^2 - 4ac): [ \Delta = 3^2 - 4(-1)(-2) = 9 - 8 = 1 ]
Como (\Delta > 0), la función tiene dos raíces reales distintas. Resolvemos: [ x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \quad \text{y} \quad x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 ]
Las raíces son (x_1 = 2) y (x_2 = 1).
b) Máximo o mínimo: La concavidad de la parábola depende del coeficiente (a):
Si (a > 0), la parábola es cóncava hacia arriba y tiene un mínimo en el vértice.
Si (a < 0), la parábola es cóncava hacia abajo y tiene un máximo en el vértice.
En nuestra función, (a = -1), por lo que tiene un máximo.
c) Intervalos de monotonía: Calculamos la derivada de la función: [ y’ = -2x + 3 ]
Para encontrar los intervalos de monotonía, evaluamos (y’) en puntos críticos (donde (y’ = 0)): [ -2x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} = 1.5 ]
Ahora probamos con un valor menor y uno mayor que (x = 1.5):
Si (x < 1.5), (y’) es positiva, por lo que la función es creciente.
Si (x > 1.5), (y’) es negativa, por lo que la función es decreciente.
Los intervalos de monotonía son ((-\infty, 1.5)) y ((1.5, +\infty)).
d) Concavidad: Como (a = -1 < 0), la concavidad es negativa. La parábola abre hacia abajo.
En resumen:
Raíces: (x_1 = 2) y (x_2 = 1)
Máximo: Sí
Intervalos de monotonía: ((-\infty, 1.5)) y ((1.5, +\infty))
Concavidad: Negativa (parábola cóncava hacia abajo)
Explicación: