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Para abordar el ejercicio No. 8 sobre la propagación de una epidemia:
La función que describe el número de animales afectados \( t \) días después de iniciado el brote es:
$ N(t) = \frac{N}{1 + A \cdot e^{-Kt}} $
donde:
- \( N \) es el número total de animales del rodeo nacional.
- \( A \) y \( K \) son constantes positivas con \( A > 1 \).
- \( e \) es la base del logaritmo natural.
**a) Máxima velocidad de propagación:**
Para encontrar cuándo ocurre la máxima velocidad de propagación, necesitamos derivar la función \( N(t) \) con respecto al tiempo \( t \) para obtener la función de velocidad de propagación \( V(t) \):
$ V(t) = \frac{dN}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{N}{1 + A \cdot e^{-Kt}} \right) $
Aplicando la regla de la cadena y la derivada de una función exponencial, obtenemos:
$ V(t) = N \cdot \frac{A \cdot K \cdot e^{-Kt}}{(1 + A \cdot e^{-Kt})^2} $
Para encontrar el máximo de \( V(t) \), buscamos el punto donde la derivada de \( V(t) \) es cero. Sin embargo, una forma más sencilla de encontrar el máximo es observar que el denominador de \( V(t) \) es una función cuadrática en términos de \( e^{-Kt} \) y alcanza su valor mínimo cuando \( e^{-Kt} = \frac{1}{A} \), ya que \( A > 1 \). Esto ocurre cuando \( N(t) = \frac{N}{2} \), es decir, cuando la mitad del rodeo está infectada. Por lo tanto, la máxima velocidad de propagación ocurre cuando se infecta la mitad del rodeo.
**b) Bosquejo de las funciones \( n(t) \) y \( V(t) \):**
Para bosquejar la función \( n(t) \) para \( t \geq 0 \), consideramos que cuando \( t \) es pequeño, \( e^{-Kt} \) es grande, por lo que \( n(t) \) es pequeño. A medida que \( t \) aumenta, \( e^{-Kt} \) disminuye y \( n(t) \) se acerca asintóticamente a \( N \).
La función de velocidad de propagación \( V(t) \) tendrá un comportamiento que aumenta hasta alcanzar un máximo cuando la mitad del rodeo está infectada y luego disminuye a medida que \( t \) sigue aumentando.