Explicación paso a paso:
Ejercicios de optimización con derivadas
1. Ecuaciones dos números cuya suma sea 4 y su producto sea menor:
Solución:
* Sea x el primer número.
* El segundo número es 4 - x.
* El producto de los dos números es x(4 - x).
* Para encontrar el valor máximo del producto, derivamos la función con respecto a x e igualamos la derivada a cero.
f'(x) = 4 - 2x = 0
x = 2
* Sustituimos x = 2 en la función original para obtener el producto máximo.
f(2) = 2(4 - 2) = 4
Respuesta: Los dos números que satisfacen las condiciones son 2 y 2. Su producto máximo es 4.
2. Calcular las dimensiones de un rectángulo con perímetro de 750 metros, de manera que el rectángulo sea el área máxima:
Solución:
* Sea x la longitud del rectángulo.
* El ancho del rectángulo es 750 - 2x.
* El área del rectángulo es x(750 - 2x).
* Para encontrar el valor máximo del área, derivamos la función con respecto a x e igualamos la derivada a cero.
f'(x) = 750 - 4x = 0
x = 187.5
* Sustituimos x = 187.5 en la función original para obtener el área máxima.
f(187.5) = 187.5(750 - 2(187.5)) = 135,000
Respuesta: Las dimensiones del rectángulo con área máxima son 187.5 metros de largo y 375 metros de ancho. El área máxima es de 135,000 metros cuadrados.
3. En el costado de un terreno se encuentra una barda de piedra y se disponen de 1300 metros de malla de alambre de la misma altura que la barda; se desea hacer un corral rectangular utilizando el muro de piedra como uno de sus costados. Calcula las dimensiones que debe tener el corral para encerrar la mayor área posible:
Solución:
* Sea x la longitud del corral.
* El ancho del corral es 1300 - x.
* El área del corral es x(1300 - x).
* Para encontrar el valor máximo del área, derivamos la función con respecto a x e igualamos la derivada a cero.
f'(x) = 1300 - 2x = 0
x = 650
* Sustituimos x = 650 en la función original para obtener el área máxima.
f(650) = 650(1300 - 2(650)) = 455,000
Respuesta: Las dimensiones del corral con área máxima son 650 metros de largo y 650 metros de ancho. El área máxima es de 455,000 metros cuadrados.
4. Con una cartulina rectangular de 40 X 15 cm se quiere construir una caja abierta cortando en cada esquina un cuadrado de lado "x" y doblando los lados hacia arriba, como se muestra en la figura:
Solución:
* El volumen de la caja es (40 - 2x)(15 - 2x)x.
* Para encontrar el valor máximo del volumen, derivamos la función con respecto a x e igualamos la derivada a cero.
f'(x) = -8x^2 + 140x - 300 = 0
* La ecuación cuadrática no tiene soluciones reales.
* Esto significa que el volumen de la caja no tiene un máximo absoluto.
* El volumen máximo se alcanza cuando x = 5.
Respuesta: El valor de x para el que el volumen de la caja es máximo es 5 cm. En este caso, el volumen de la caja es de 125 cm^3.
Conclusión:
Los ejercicios de optimización con derivadas se resuelven siguiendo los siguientes pasos:
* Definir la función que se desea optimizar.
* Encontrar la derivada de la función.
* Igualar la derivada a
Respuesta:
1. Dimensiones de la caja abierta con base cuadrada:
Para maximizar el volumen \( V \) de una caja con base cuadrada y superficie de cartón limitada a \( 1200 cm^2 \), se puede usar la derivada para encontrar las dimensiones óptimas. Si \( x \) es la longitud del lado de la base y \( h \) la altura, la superficie del cartón es \( S = x^2 + 4xh \). Con \( S = 1200 \), se puede expresar \( h \) en términos de \( x \) y luego maximizar \( V = x^2h \).
2. Dimensiones del terreno del agricultor:
Si el agricultor tiene \( 500 m \) de cerca y quiere dividir el terreno en dos partes iguales, llamemos \( x \) al largo del terreno y \( y \) al ancho. La cantidad de cerca usada sería \( P = 2x + 3y \). Con \( P = 500 \), se puede expresar \( y \) en términos de \( x \) y maximizar el área \( A = xy \).
3. Valor del producto que maximiza la ganancia mensual:
La ganancia mensual \( G \) es la diferencia entre el ingreso total \( R(x) \) y el costo total \( C(x) \), es decir, \( G(x) = R(x) - C(x) \). Para maximizar \( G \), se debe encontrar el valor de \( x \) que hace que \( G'(x) = 0 \) y verificar que \( G''(x) < 0 \).
4. Longitud del lado del cuadrado cortado para la caja:
Si la cartulina mide \( 40 cm \) por \( 50 cm \) y se corta un cuadrado de lado \( x \) en cada esquina, las nuevas dimensiones serán \( (40-2x) \) y \( (50-2x) \), y la altura será \( x \). El volumen \( V \) de la caja será \( V = x(40-2x)(50-2x) \). Para maximizar \( V \), se debe encontrar el valor de \( x \) que hace que \( V'(x) = 0 \) y verificar que \( V''(x) < 0 \).