Explicación:
Para resolver este problema, primero establecemos la relación entre el capital inicial (C) y el interés ganado (I) como 4 a 5. Esto significa que \( I = \frac{5}{4}C \).
Según el problema, los intereses ganados (I) deben ser equivalentes a las 3/4 partes del capital colocado más la mitad de dicho interés ganado después de 3 años. Matemáticamente, esto se puede expresar como:
$ I = \frac{3}{4}C + \frac{1}{2}I $
Sustituimos \( I \) de la relación capital-interés:
$ \frac{5}{4}C = \frac{3}{4}C + \frac{1}{2} \left( \frac{5}{4}C \right) $
Resolvemos para C:
$ \frac{5}{4}C = \frac{3}{4}C + \frac{5}{8}C $
$ \frac{5}{4}C = \frac{6}{8}C + \frac{5}{8}C $
$ \frac{5}{4}C = \frac{11}{8}C $
Multiplicamos ambos lados por \( \frac{8}{11} \):
$ C = \frac{8}{11} \left( \frac{5}{4}C \right) $
$ C = \frac{10}{11}C $
Ahora, para encontrar la tasa de interés (r) capitalizable semestralmente que cumple con esta condición después de 3 años (n = 6 semestres), usamos la fórmula del interés compuesto:
$ C \left(1 + \frac{r}{2}\right)^6 = \frac{10}{11}C $
Dividimos ambos lados por C:
$ \left(1 + \frac{r}{2}\right)^6 = \frac{10}{11} $
Tomamos la raíz sexta de ambos lados:
$ 1 + \frac{r}{2} = \left(\frac{10}{11}\right)^{\frac{1}{6}} $
Restamos 1 de ambos lados:
$ \frac{r}{2} = \left(\frac{10}{11}\right)^{\frac{1}{6}} - 1 $
Multiplicamos ambos lados por 2 para obtener r:
$ r = 2 \left[\left(\frac{10}{11}\right)^{\frac{1}{6}} - 1\right] $
Calculamos el valor de r:
$ r = 2 \left[\left(\frac{10}{11}\right)^{\frac{1}{6}} - 1\right] \approx 2 \left[0.985 - 1\right] $
$ r \approx 2 \left[-0.015\right] $
$ r \approx -0.03 $
Sin embargo, una tasa de interés negativa no tiene sentido en este contexto, lo que indica que puede haber un error en la interpretación del problema o en los cálculos realizados
