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Respuesta:
(206.75)
Explicación paso a paso:
Para calcular la suma de Riemann \( R_p \) para la función \( f(x) = -x^2 - 5x + 5 \) con la partición \( P \) de \([-2, 7]\) en cuatro subintervalos y los puntos dados \( W_1, W_2, W_3, W_4 \), usaremos los puntos medios de cada subintervalo para evaluar la función. La suma de Riemann se calcula como sigue:
$ R_p = \sum_{i=1}^{4} f(W_i) \Delta x_i $
Donde \( \Delta x_i \) es la longitud de cada subintervalo y \( W_i \) son los puntos dados. En este caso, todos los subintervalos tienen la misma longitud, que es \( \frac{7 - (-2)}{4} = \frac{9}{4} = 2.25 \).
Ahora evaluamos la función en cada \( W_i \):
- \( f(W_1) = f(-1) = -(-1)^2 - 5(-1) + 5 = -1 + 5 + 5 = 9 \)
- \( f(W_2) = f(2) = -(2)^2 - 5(2) + 5 = -4 - 10 + 5 = -9 \)
- \( f(W_3) = f(4) = -(4)^2 - 5(4) + 5 = -16 - 20 + 5 = -31 \)
- \( f(W_4) = f(6) = -(6)^2 - 5(6) + 5 = -36 - 30 + 5 = -61 \)
Finalmente, sumamos los productos de cada evaluación por la longitud del subintervalo:
$ R_p = 9(2.25) + (-9)(2.25) + (-31)(2.25) + (-61)(2.25) $
$ R_p = 20.25 - 20.25 - 69.75 - 137.25 $
$ R_p = -206.75 $
Por lo tanto, la suma de Riemann \( R_p \) para la función dada y la partición especificada es \( -206.75 \).