Respuesta:
Claro, vamos a identificar el tipo de cónica para cada una de las ecuaciones dadas en la tabla.
1. \((y - 7)^2 = 4(x - 5)^2\)
Esta es la ecuación de una parábola porque tiene la forma estándar \((y - k)^2 = 4p(x - h)\).
2. \(y^2 + 16x - 8y - 10 = 0\)
Reorganizando esta ecuación y completando el cuadrado, veremos que es una parábola.
3. \(x^2 + 2y^2 + 16x - 8y - 10 = 0\)
Dado que los coeficientes de \(x^2\) y \(y^2\) son positivos y diferentes, esto es una elipse.
4. \(x^2 - y^2 + 6x - 14y - 6 = 0\)
Esta ecuación es de una hipérbola porque los signos de los términos \(x^2\) y \(y^2\) son opuestos.
5. \(x^2 + y^2 + 6x - 14y - 6 = 0\)
Con coeficientes iguales y positivos para \(x^2\) y \(y^2\), esta ecuación representa un círculo.
6. \(6x^2 + 6x - 14y - 6 = 0\)
Simplificando esta ecuación veremos que es una parábola.
7. \(3x^2 + 3y^2 + 6x - 14y - 20 = 0\)
Con coeficientes iguales y positivos para \(x^2\) y \(y^2\), esta ecuación representa un círculo.
8. \(y^2 + 6x - 14y - 6 = 0\)
Reorganizando y completando el cuadrado, esta ecuación se puede reconocer como una parábola.
Aquí está la tabla completa con el tipo de cónica identificado para cada ecuación:
| Ecuación | Cónica |
|------------------------------------------|-----------|
| \((y - 7)^2 = 4(x - 5)^2\) | Parábola |
| \(y^2 + 16x - 8y - 10 = 0\) | Parábola |
| \(x^2 + 2y^2 + 16x - 8y - 10 = 0\) | Elipse |
| \(x^2 - y^2 + 6x - 14y - 6 = 0\) | Hipérbola |
| \(x^2 + y^2 + 6x - 14y - 6 = 0\) | Círculo |
| \(6x^2 + 6x - 14y - 6 = 0\) | Parábola |
| \(3x^2 + 3y^2 + 6x - 14y - 20 = 0\) | Círculo |
| \(y^2 + 6x - 14y - 6 = 0\) | Parábola |
Espero que esto te ayude a completar la tabla correctamente.
