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Sagot :
Respuesta:
Podemos abordar este problema utilizando la distribución binomial. En una distribución binomial, la probabilidad de obtener exactamente \( k \) éxitos (en este caso, caras) en \( n \) ensayos (lanzamientos de monedas), cada uno con una probabilidad de éxito \( p \), está dada por la fórmula:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \]
donde:
- \( n \) es el número de ensayos (20 monedas).
- \( k \) es el número de éxitos (caras) deseados.
- \( p \) es la probabilidad de éxito en cada ensayo (0.6).
Primero, determinemos el valor más probable de \( k \). En una distribución binomial, el valor más probable de \( k \) (la moda) se puede aproximar como:
\[ k_{\text{moda}} \approx \lfloor (n + 1) \cdot p \rfloor \]
Para \( n = 20 \) y \( p = 0.6 \):
\[ k_{\text{moda}} \approx \lfloor (20 + 1) \cdot 0.6 \rfloor = \lfloor 21 \cdot 0.6 \rfloor = \lfloor 12.6 \rfloor = 12 \]
Así que el número más probable de caras es 12.
Ahora, calculemos la probabilidad de obtener exactamente 12 caras utilizando la fórmula de la distribución binomial:
\[ P(X = 12) = \binom{20}{12} (0.6)^{12} (0.4)^{8} \]
Primero, calculemos el coeficiente binomial:
\[ \binom{20}{12} = \frac{20!}{12!(20 - 12)!} = \frac{20!}{12! \cdot 8!} \]
Esto da:
\[ \binom{20}{12} = 125970 \]
Luego, calculemos las probabilidades:
\[ (0.6)^{12} \approx 0.00217678 \]
\[ (0.4)^{8} \approx 0.00065536 \]
Finalmente, multiplicamos todo junto:
\[ P(X = 12) = 125970 \cdot 0.00217678 \cdot 0.00065536 \approx 0.179 \]
Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente 12 caras en 20 lanzamientos de monedas con una probabilidad de 0.6 de obtener cara en cada lanzamiento es aproximadamente 0.179 o 17.9%.
Explicación paso a paso:
Claro, aquí tienes un ejemplo detallado paso a paso para calcular la probabilidad de obtener exactamente 12 caras en 20 lanzamientos de monedas con una probabilidad de éxito de 0.6 en cada lanzamiento.
### Paso a Paso
#### Paso 1: Determinar los parámetros
- Número de lanzamientos, \( n = 20 \)
- Número de caras deseadas, \( k = 12 \)
- Probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento, \( p = 0.6 \)
#### Paso 2: Calcular el coeficiente binomial \( \binom{n}{k} \)
La fórmula para el coeficiente binomial es:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Aplicamos los valores:
\[ \binom{20}{12} = \frac{20!}{12!(20-12)!} = \frac{20!}{12! \cdot 8!} \]
Para simplificar, usaremos solo los factores necesarios:
\[ \binom{20}{12} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 125970 \]
#### Paso 3: Calcular \( p^k \) y \( (1-p)^{n-k} \)
- \( p^k = (0.6)^{12} \)
- \( (1-p)^{n-k} = (0.4)^{8} \)
Calculamos cada término por separado:
\[ (0.6)^{12} \approx 0.00217678 \]
\[ (0.4)^{8} \approx 0.00065536 \]
#### Paso 4: Multiplicar todos los términos juntos
\[ P(X = 12) = \binom{20}{12} \cdot (0.6)^{12} \cdot (0.4)^{8} \]
Sustituimos los valores calculados:
\[ P(X = 12) = 125970 \cdot 0.00217678 \cdot 0.00065536 \]
#### Paso 5: Realizar la multiplicación final
\[ P(X = 12) \approx 125970 \cdot 0.00217678 \cdot 0.00065536 \]
\[ P(X = 12) \approx 0.179 \]
### Resultado
La probabilidad de obtener exactamente 12 caras en 20 lanzamientos de monedas, cada una con una probabilidad de 0.6 de obtener cara, es aproximadamente 0.179 o 17.9%.
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