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Respuesta:
El resultado es que la ecuación \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) representa una circunferencia en el plano cartesiano.
Explicación paso a paso:
La ecuación \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) representa una circunferencia en el plano cartesiano.
Para identificar las características de la circunferencia, observamos los coeficientes \( D \), \( E \) y \( F \):
- El término \( D \) controla el desplazamiento horizontal del centro de la circunferencia.
- El término \( E \) controla el desplazamiento vertical del centro de la circunferencia.
- El término \( F \) es el término constante que afecta al radio al cuadrado de la circunferencia.
**1. Centro de la Circunferencia:**
El centro de la circunferencia \( (h, k) \) se encuentra en \( (-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}) \).
**2. Radio de la Circunferencia:**
El radio \( r \) de la circunferencia está dado por \( r^2 = h^2 + k^2 - F \).
- Si \( F > 0 \): La ecuación representa una circunferencia con centro \( (-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}) \) y radio \( \sqrt{F} \).
- Si \( F = 0 \): La ecuación representa una circunferencia con centro \( (-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}) \) y radio \( 0 \), que es un punto.
- Si \( F < 0 \): La ecuación no representa una circunferencia en el sentido tradicional porque el radio \( r^2 \) sería negativo, lo que significa que no hay puntos reales que satisfagan la ecuación en el plano cartesiano.
**3. Gráfica:**
Para graficar la circunferencia, sigue estos pasos:
- Calcula el centro \( (-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}) \).
- Calcula el radio \( r = \sqrt{h^2 + k^2 - F} \).
- Dibuja la circunferencia con centro en el punto calculado y con el radio encontrado.
Esta ecuación es fundamental en geometría analítica para representar circunferencias y entender su posición y tamaño en el plano cartesiano.