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Explicación paso a paso:
Para encontrar las dimensiones del cono circular de volumen máximo que puede inscribirse en una esfera de radio \( r \), seguimos los siguientes pasos:
1. **Entender la relación entre el cono y la esfera**: El cono inscrito tendrá su vértice en el centro de la esfera y su base será un círculo que toca la esfera.
2. **Expresar el volumen del cono en función de su radio y altura**:
- El radio de la base del cono será \( r_c \).
- La altura del cono será \( h \).
El volumen \( V \) de un cono se calcula como:
\[
V = \frac{1}{3} \pi r_c^2 h
\]
3. **Relación entre las dimensiones del cono y la esfera**:
- El radio del cono \( r_c \) y su altura \( h \) deben cumplir ciertas relaciones geométricas con el radio \( r \) de la esfera.
4. **Maximizar el volumen**: Para maximizar \( V \), necesitamos expresar \( h \) en función de \( r_c \) y \( r \), y luego maximizar la función \( V \).
5. **Relación geométrica clave**: El triángulo formado por el radio de la esfera, el radio del cono y la altura del cono es un triángulo rectángulo. Usando la propiedad de triángulo rectángulo y la relación trigonométrica,