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Respuesta:
Por lo tanto, la inductancia del solenoide es aproximadamente \(1.53 \, \text{mH}\).
Explicación:
Para determinar el valor de la inductancia \(L\) de un solenoide con sección circular, utilizamos la fórmula estándar para la inductancia de un solenoide largo, que es:
\[ L = \mu_0 \mu_r \frac{N^2 A}{l} \]
donde:
- \(L\) es la inductancia,
- \(\mu_0\) es la permeabilidad del vacío (\(4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)),
- \(\mu_r\) es la permeabilidad relativa del núcleo (para el vacío, \(\mu_r = 1\)),
- \(N\) es el número de vueltas,
- \(A\) es el área de la sección transversal del solenoide,
- \(l\) es la longitud del solenoide.
Dado:
- Radio del solenoide, \(r = 3 \, \text{cm} = 0.03 \, \text{m}\),
- Longitud del solenoide, \(l = 30 \, \text{cm} = 0.3 \, \text{m}\),
- Número de vueltas, \(N = 640\).
Primero, calculamos el área de la sección transversal \(A\):
\[ A = \pi r^2 = \pi (0.03 \, \text{m})^2 = \pi \times 0.0009 \, \text{m}^2 = 0.0009\pi \, \text{m}^2 \]
Ahora, sustituimos los valores en la fórmula para \(L\):
\[ L = \mu_0 \mu_r \frac{N^2 A}{l} \]
Para el vacío, \(\mu_r = 1\), así que \(\mu_0 \mu_r = \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\).
Entonces,
\[ L = 4\pi \times 10^{-7} \frac{(640)^2 \times 0.0009\pi}{0.3} \]
Calculamos paso a paso:
1. \( (640)^2 = 409600 \)
2. \( 0.0009\pi \approx 0.0028274 \)
3. Multiplicamos los resultados anteriores:
\[ 409600 \times 0.0028274 = 1157.18464 \]
4. Dividimos por la longitud:
\[ \frac{1157.18464}{0.3} \approx 3857.28213 \]
5. Finalmente, multiplicamos por \(4\pi \times 10^{-7}\):
\[ L = 4\pi \times 10^{-7} \times 3857.28213 \]
\[ L \approx 4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 3857.28213 \]
\[ L \approx 4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 3857.28213 \]
\[ L \approx 4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 3857.28213 \]
\[ L \approx 1.53 \times 10^{-3} \]
\[ L \approx 1.53 \, \text{mH} \]
Por lo tanto, la inductancia del solenoide es aproximadamente \(1.53 \, \text{mH}\).