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Sagot :
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Para encontrar la función compleja
(
)
f(z) tal que
(
,
)
+
(
,
)
u(x,y)+iv(x,y) sea una función analítica en todo el plano complejo
z, debemos relacionar
(
,
)
u(x,y) y
(
,
)
v(x,y) con
(
)
f(z).
Dada la función
(
,
)
=
2
−
2
+
2
u(x,y)=x
2
−y
2
+2x, queremos encontrar
(
,
)
v(x,y) de modo que
(
)
=
(
,
)
+
(
,
)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) sea holomorfa (analítica).
Para que
(
)
f(z) sea analítica, debe satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann, que relacionan las derivadas parciales de
u y
v con respecto a
x e
y.
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son:
∂
∂
=
∂
∂
∂x
∂u
=
∂y
∂v
∂
∂
=
−
∂
∂
∂y
∂u
=−
∂x
∂v
Calcular las derivadas parciales de
(
,
)
u(x,y):
∂
∂
=
2
+
2
∂x
∂u
=2x+2
∂
∂
=
−
2
∂y
∂u
=−2y
Usar las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
∂
∂
=
2
+
2
∂y
∂v
=2x+2
∂
∂
=
2
∂x
∂v
=2y
Integramos estas ecuaciones para encontrar
(
,
)
v(x,y):
Para
∂
∂
=
2
+
2
∂y
∂v
=2x+2, integramos respecto a
y:
(
,
)
=
(
2
+
2
)
+
(
)
v(x,y)=(2x+2)y+g(x)
Donde
(
)
g(x) es una función de
x.
Para
∂
∂
=
2
∂x
∂v
=2y, integramos respecto a
x:
(
,
)
=
2
+
ℎ
(
)
v(x,y)=y
2
+h(y)
Donde
ℎ
(
)
h(y) es una función de
y.
Para que ambas expresiones sean consistentes, debemos tener
(
)
=
0
g(x)=0 y
ℎ
(
)
=
0
h(y)=0, lo que nos lleva a:
(
,
)
=
(
2
+
2
)
v(x,y)=(2x+2)y
Por lo tanto, la función compleja
(
)
f(z) que hace que
(
,
)
+
(
,
)
u(x,y)+iv(x,y) sea analítica es:
(
)
=
(
,
)
+
(
,
)
=
(
2
−
2
+
2
)
+
(
2
+
2
)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(x
2
−y
2
+2x)+i(2xy+2y)
Entonces, la respuesta es
(
2
−
2
+
2
)
+
(
2
+
2
)
(x
2
−y
2
+2x)+i(2xy+2y)
.
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