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Un pequeño banco asigna un máximo de $200,000 para préstamos personales y para automóviles durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de interés anual del 14% a préstamos personales y del 12% a préstamos para automóvil. Ambos tipos de préstamos se saldan en periodos de tres años. El monto de los préstamos para automóvil debe ser cuando menos de dos veces mayor que el de los préstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de todos los préstamos personales ¿Cómo deben asignarse los fondos si por cada tipo de préstamo el banco pierde 20% y 60% en tramites?​

Sagot :

Yolmargomez550idn

Respuesta:

Asignación óptima de fondos para préstamos personales y para automóviles

Objetivo: Encontrar la distribución óptima de los $200,000 entre préstamos personales y para automóviles que maximice las ganancias del banco, considerando las tasas de interés, los costos de trámite, las pérdidas por adeudos no cubiertos y la restricción de monto mínimo para préstamos para automóviles.

Escenario:

* Préstamo personal:

* Monto máximo: $200,000

* Tasa de interés anual: 14%

* Periodo de pago: 3 años

* Costo de trámite: 20% del monto del préstamo

* Pérdida por adeudo no cubierto: 1% del monto del préstamo

* Préstamo para automóvil:

* Monto mínimo: 2 veces el monto de préstamos personales

* Tasa de interés anual: 12%

* Periodo de pago: 3 años

* Costo de trámite: 60% del monto del préstamo

* Pérdida por adeudo no cubierto: 1% del monto del préstamo

Variables:

* x: Monto asignado a préstamos personales

* y: Monto asignado a préstamos para automóviles

Restricciones:

* Restricción de monto máximo: x + y ≤ 200,000

* Restricción de monto mínimo para automóviles: y ≥ 2x

Función objetivo:

Maximizar las ganancias del banco (G), que se calculan como la diferencia entre los ingresos por intereses y los costos y pérdidas asociados a ambos tipos de préstamos:

G = (0.14x + 0.12y) - (0.2x + 0.6y) - (0.01x + 0.01y)

Solución:

* Simplificar la función objetivo:

G = 0.04x - 0.48y

* Expresar y en función de x:

y = 2x

* Sustituir y en la función objetivo:

G = 0.04x - 0.48(2x)

G = 0.04x - 0.96x

G = -0.92x

* Maximizar G:

Como G es una función lineal decreciente, el valor máximo de G se alcanza cuando x es el valor máximo permitido, es decir, x = 200,000.

* Calcular y:

y = 2(200,000) = 400,000

Conclusión:

Para maximizar sus ganancias, el banco debería asignar:

* Préstamos personales: $200,000

* Préstamos para automóviles: $400,000

Nota:

Es importante considerar que esta es una solución teórica y que en la práctica pueden existir otros factores que influyan en la asignación de fondos, como la demanda de cada tipo de préstamo, la disponibilidad de recursos y las políticas del banco.

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