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Respuesta:
Resolución paso a paso de la derivada de H(t)
Función original: H(t) = (2t³ + t²)⁷
Objetivo: Encontrar la derivada de H(t) con respecto a t.
Pasos:
1. Aplicar la regla de la cadena:
La regla de la cadena establece que la derivada de una función compuesta f(g(x)) es igual al producto de la derivada de la función externa f evaluada en el valor de la función interna g(x) por la derivada de la función interna g(x).
En este caso, la función interna es (2t³ + t²) y la función externa es x⁷.
Derivada de la función interna:
g(t) = 2t³ + t²
g'(t) = 6t² + 2t
Derivada de la función externa:
f(x) = x⁷
f'(x) = 7x⁶
Aplicación de la regla de la cadena:
H'(t) = f'(g(t)) * g'(t)
= (7(2t³ + t²)⁶) * (6t² + 2t)
2. Simplificar la expresión:
H'(t) = 14t⁶(2t³ + t²)⁶ + 14t⁵(2t³ + t²)⁵
3. Expandir los productos:
H'(t) = 28t⁶(2t³)⁶ + 14t⁶(t²)⁶ + 28t⁵(2t³)⁵ + 14t⁵(t²)⁵
4. Agrupar términos semejantes:
H'(t) = (28t⁶ + 28t⁵) * (2t³)⁶ + (14t⁶ + 14t⁵) * (t²)⁵
5. Sacar factores comunes:
H'(t) = 28t⁵(2t³ + t) * (2t³)⁵ + 14t⁵(2t³ + t) * (t²)⁴
6. Extraer factor común:
H'(t) = 14t⁵(2t³ + t) * [(2t³)⁵ + (t²)⁴]
7. Simplificar la expresión final:
H'(t) = 14t⁵(2t³ + t)(2t¹¹ + t⁸)
Resultado final:
La derivada de H(t) con respecto a t es:
H'(t) = 14t⁵(2t³ + t)(2t¹¹ + t⁸)
Notas:
* Se ha utilizado la fórmula de la potencia de un binomio para expandir los productos (2t³ + t²)⁶ y (2t³ + t²)⁵.
* Se han agrupado términos semejantes para simplificar la expresión.
* Se ha sacado factor común para obtener una expresión más compacta.
* Se ha simplificado la expresión final para eliminar factores innecesarios.
Espero que esta resolución paso a paso te haya sido útil. Si tienes alguna duda o necesitas más explicaciones, no dudes en preguntar.