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Explicación paso a paso:
Para resolver el problema, tenemos las siguientes condiciones:
1. \( \mathbf{D} = \mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C} \)
2. La segunda componente de \(\mathbf{D}\) es cero.
3. \( ||\mathbf{D}|| = 10\sqrt{2} \)
4. \( ||\mathbf{B}|| = 20 \)
5. La primera componente de \(\mathbf{C}\) es 20.
6. \(\sin 37^\circ = \frac{3}{5}\)
Primero, establecemos las componentes de los vectores \(\mathbf{B}\) y \(\mathbf{C}\).
**Vector \(\mathbf{B}\):**
Si \(\mathbf{B}\) tiene un ángulo \(\theta\) con el eje \(x\), sus componentes serían:
\[ \mathbf{B}_x = ||\mathbf{B}|| \cos \theta \]
\[ \mathbf{B}_y = ||\mathbf{B}|| \sin \theta \]
Como no se da información adicional sobre el ángulo, no necesitamos descomponerlo por ahora.
**Vector \(\mathbf{C}\):**
Se nos da que la primera componente de \(\mathbf{C}\) es 20.
\[ \mathbf{C} = (20, C_y) \]
**Vector \(\mathbf{D}\):**
Sabemos que la segunda componente de \(\mathbf{D}\) es cero:
\[ \mathbf{D}_y = A_y + B_y + C_y = 0 \]
**Magnitud del vector \(\mathbf{D}\):**
\[ ||\mathbf{D}|| = \sqrt{\mathbf{D}_x^2 + \mathbf{D}_y^2} = 10\sqrt{2} \]
Dado que \(\mathbf{D}_y = 0\):
\[ \mathbf{D}_x = 10\sqrt{2} \]
Ahora descomponemos los vectores:
Para \(\mathbf{B}\), usamos el seno y coseno del ángulo dado \(37^\circ\):
\[ \mathbf{B}_x = 20 \cos 37^\circ \]
\[ \mathbf{B}_y = 20 \sin 37^\circ = 20 \left(\frac{3}{5}\right) = 12 \]
Para encontrar \(\mathbf{B}_x\):
Sabemos que \(\sin 37^\circ = \frac{3}{5}\) y usando la identidad trigonométrica \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\):
\[ \cos 37^\circ = \sqrt{1 - \sin^2 37^\circ} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \]
Entonces:
\[ \mathbf{B}_x = 20 \cos 37^\circ = 20 \left(\frac{4}{5}\right) = 16 \]
Por lo tanto, \(\mathbf{B}\) tiene componentes \((16, 12)\).
Considerando que la segunda componente de \(\mathbf{D}\) es cero:
\[ A_y + 12 + C_y = 0 \]
\[ C_y = -A_y - 12 \]
La primera componente de \(\mathbf{D}\):
\[ \mathbf{D}_x = A_x + B_x + C_x \]
\[ 10\sqrt{2} = A_x + 16 + 20 \]
\[ 10\sqrt{2} = A_x + 36 \]
\[ A_x = 10\sqrt{2} - 36 \]
Ya tenemos \(\mathbf{A}\) como \((A_x, A_y)\) y \(\mathbf{C}\) como \((20, C_y)\).
Ahora podemos escribir el vector \(\mathbf{D}\):
\[ \mathbf{D} = (10\sqrt{2}, 0) \]
Finalmente, para asegurarnos que la magnitud es correcta:
\[ ||\mathbf{D}|| = \sqrt{(10\sqrt{2})^2 + 0^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \]
Así, las componentes de \(\mathbf{D}\) son \((10\sqrt{2}, 0)\).
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