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Respuesta:
Para resolver el problema de cuántas maneras diferentes hay de organizar las letras de la palabra "MATHEMATICS" de manera que las letras "M" siempre estén juntas, podemos seguir estos pasos:
1. **Considerar las dos "M" como una sola unidad:** Si las dos "M" siempre deben estar juntas, las tratamos como un solo bloque. De esta forma, en lugar de tener 11 letras, tendremos 10 unidades para permutar: "MM", "A", "T", "H", "E", "M", "A", "T", "I", "C", "S".
Explicación:
Para resolver el problema de cuántas maneras diferentes hay de organizar las letras de la palabra "MATHEMATICS" de manera que las letras "M" siempre estén juntas, podemos seguir estos pasos:
2. **Contar el número de permutaciones de las unidades:** Ahora necesitamos permutar 10 unidades donde hay repetición de algunas letras. En estas 10 unidades, tenemos:
- 2 "A"
- 2 "T"
- El resto de las letras son únicas.
3. **Usar la fórmula de permutaciones con repetición:** La fórmula para el número de permutaciones de \( n \) elementos con repeticiones es:
\[
\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!}
\]
donde \( n \) es el número total de elementos y \( n_1, n_2, \ldots, n_k \) son las frecuencias de los elementos repetidos. En nuestro caso:
\[
\frac{10!}{2! \cdot 2!}
\]
4. **Calcular el valor numérico:** Ahora calculamos:
\[
10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3,628,800
\]
\[
2! = 2 \times 1 = 2
\]
\[
\frac{10!}{2! \cdot 2!} = \frac{3,628,800}{2 \times 2} = \frac{3,628,800}{4} = 907,200
\]
Por lo tanto, el número de maneras diferentes de organizar las letras de la palabra "MATHEMATICS" de manera que las letras "M" siempre estén juntas es \( 907,200 \).