Respuesta:
Resumen de Resultados:
a. Componentes de la velocidad inicial: \(v_{0x} \approx 10.65 \text{ m/s}\), \(v_{0y} \approx 7.46 \text{ m/s}\)
b. Componentes de la velocidad a los 0.8 s: \(v_x \approx 10.65 \text{ m/s}\), \(v_y \approx -0.38 \text{ m/s}\)
c. Componentes de la posición a los 0.8 s: \(x \approx 8.52 \text{ m}\), \(y \approx 2.83 \text{ m}\)
d. Tiempo en alcanzar la altura máxima: \(t_{\text{max}} \approx 0.76 \text{ s}\)
e. Altura máxima: \(y_{\text{max}} \approx 2.84 \text{ m}\)
f. Distancia horizontal total: \(x_{\text{total}} \approx 16.18 \text{ m}\)
Explicación:
Para resolver el problema del balón disparado, vamos a desglosar cada una de las partes utilizando conceptos de cinemática.
### Datos del problema:
- Velocidad inicial (\(v_0\)): 13 m/s
- Ángulo de lanzamiento (\(\theta\)): 35°
### a. Determinar las componentes \(v_{0x}\) y \(v_{0y}\) de la velocidad inicial.
Las componentes de la velocidad inicial se calculan usando las funciones trigonométricas:
\[
v_{0x} = v_0 \cos(\theta)
\]
\[
v_{0y} = v_0 \sin(\theta)
\]
Calculamos:
\[
v_{0x} = 13 \cos(35^\circ) \approx 13 \times 0.8192 \approx 10.65 \text{ m/s}
\]
\[
v_{0y} = 13 \sin(35^\circ) \approx 13 \times 0.5736 \approx 7.46 \text{ m/s}
\]
### b. Calcular los valores de las componentes de la velocidad a los 0.8 s.
La componente horizontal de la velocidad (\(v_x\)) permanece constante:
\[
v_x = v_{0x} = 10.65 \text{ m/s}
\]
Para la componente vertical de la velocidad (\(v_y\)), utilizamos la ecuación de la velocidad en función del tiempo considerando la aceleración debido a la gravedad (\(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)):
\[
v_y = v_{0y} - g t
\]
Calculamos:
\[
v_y = 7.46 \text{ m/s} - 9.8 \text{ m/s}^2 \times 0.8 \text{ s} \approx 7.46 - 7.84 \approx -0.38 \text{ m/s}
\]
### c. Calcular los valores de las componentes de la posición a los 0.8 s.
Las componentes de la posición se calculan usando las ecuaciones de movimiento:
Para la posición horizontal (\(x\)):
\[
x = v_{0x} t
\]
Calculamos:
\[
x = 10.65 \text{ m/s} \times 0.8 \text{ s} \approx 8.52 \text{ m}
\]
Para la posición vertical (\(y\)):
\[
y = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2
\]
Calculamos:
\[
y = 7.46 \text{ m/s} \times 0.8 \text{ s} - \frac{1}{2} \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times (0.8 \text{ s})^2
\]
\[
y \approx 5.968 - 3.136 \approx 2.83 \text{ m}
\]
### d. Calcular el tiempo en alcanzar la altura máxima.
En la altura máxima, la componente vertical de la velocidad es cero (\(v_y = 0\)):
\[
v_y = v_{0y} - g t
\]
\[
0 = 7.46 \text{ m/s} - 9.8 \text{ m/s}^2 \times t
\]
\[
t = \frac{7.46 \text{ m/s}}{9.8 \text{ m/s}^2} \approx 0.76 \text{ s}
\]
### e. Determinar la altura máxima.
Usamos la ecuación de la posición vertical para calcular la altura máxima (\(t = 0.76 \text{ s}\)):
\[
y_{\text{max}} = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2
\]
\[
y_{\text{max}} = 7.46 \text{ m/s} \times 0.76 \text{ s} - \frac{1}{2} \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times (0.76 \text{ s})^2
\]
\[
y_{\text{max}} \approx 5.6696 - 2.8272 \approx 2.84 \text{ m}
\]
### f. Calcular la distancia horizontal que alcanza al caer al piso.
El tiempo total de vuelo es el doble del tiempo para alcanzar la altura máxima (simetría del movimiento parabólico):
\[
t_{\text{total}} = 2 \times 0.76 \text{ s} = 1.52 \text{ s}
\]
La distancia horizontal recorrida (\(x_{\text{total}}\)) se calcula usando:
\[
x_{\text{total}} = v_{0x} \times t_{\text{total}}
\]
\[
x_{\text{total}} = 10.65 \text{ m/s} \times 1.52 \text{ s} \approx 16.18 \text{ m}
\]
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