Respuesta:
Por lo tanto, el área bajo la curva de ( f(x) ) en el intervalo ([2,12]) usando la suma de Riemann con 5 subintervalos es 2570 unidades cuadradas.
Explicación paso a paso:
Para calcular el área bajo la curva de la función f(x)=5x2−4x
en el intervalo ([2,12]) utilizando la suma de Riemann con 5 subintervalos de igual longitud y tomando los valores de ( w ) en el punto medio de cada subintervalo, primero determinamos la longitud de cada subintervalo:
El intervalo total es ( 12 - 2 = 10 ). Dividido en 5 subintervalos, cada uno tiene una longitud de ( \frac{10}{5} = 2 ).
Los puntos medios de cada subintervalo serán ( 2 + 1 = 3 ), ( 4 + 1 = 5 ), ( 6 + 1 = 7 ), ( 8 + 1 = 9 ), y ( 10 + 1 = 11 ).
Ahora calculamos el valor de la función en cada punto medio:
( f(3) = 5(3)^2 - 4(3) = 45 - 12 = 33 )
( f(5) = 5(5)^2 - 4(5) = 125 - 20 = 105 )
( f(7) = 5(7)^2 - 4(7) = 245 - 28 = 217 )
( f(9) = 5(9)^2 - 4(9) = 405 - 36 = 369 )
( f(11) = 5(11)^2 - 4(11) = 605 - 44 = 561 )
Multiplicamos cada valor de la función por la longitud del subintervalo (2) para obtener el área de cada “rectángulo”:
Área 1: ( 33 \times 2 = 66 )
Área 2: ( 105 \times 2 = 210 )
Área 3: ( 217 \times 2 = 434 )
Área 4: ( 369 \times 2 = 738 )
Área 5: ( 561 \times 2 = 1122 )
Finalmente, sumamos las áreas de todos los rectángulos para obtener el área total bajo la curva:
Aˊrea total=66+210+434+738+1122=2570
