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Sagot :
Explicación paso a paso:
Para resolver esta expresión, usaremos productos notables y algunas manipulaciones algebraicas. Partimos de la ecuación dada:
\[
a^4 + a^{-4} = \frac{257}{16}
\]
Queremos calcular el valor de la expresión \(2(a^2 + a^{-2}) - 1\). Para hacerlo, primero encontramos \(a^2 + a^{-2}\).
Consideremos \(x = a^2 + a^{-2}\). Queremos expresar \(a^4 + a^{-4}\) en términos de \(x\).
Recordemos que:
\[
(a^2 + a^{-2})^2 = a^4 + 2 + a^{-4}
\]
Podemos reordenar esta ecuación para encontrar \(a^4 + a^{-4}\):
\[
a^4 + a^{-4} = (a^2 + a^{-2})^2 - 2
\]
Sustituyendo \(a^4 + a^{-4}\) con el valor dado en la ecuación original:
\[
(a^2 + a^{-2})^2 - 2 = \frac{257}{16}
\]
Resolviendo para \((a^2 + a^{-2})^2\):
\[
(a^2 + a^{-2})^2 = \frac{257}{16} + 2
\]
Convertimos 2 a fracciones con denominador 16:
\[
2 = \frac{32}{16}
\]
Sumamos las fracciones:
\[
(a^2 + a^{-2})^2 = \frac{257}{16} + \frac{32}{16} = \frac{289}{16}
\]
Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para encontrar \(a^2 + a^{-2}\):
\[
a^2 + a^{-2} = \sqrt{\frac{289}{16}} = \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{16}} = \frac{17}{4}
\]
Ahora podemos calcular \(2(a^2 + a^{-2}) - 1\):
\[
2(a^2 + a^{-2}) - 1 = 2 \left(\frac{17}{4}\right) - 1
\]
Simplificamos:
\[
2 \left(\frac{17}{4}\right) = \frac{34}{4} = 8.5
\]
Entonces:
\[
2(a^2 + a^{-2}) - 1 = 8.5 - 1 = 7.5
\]
Por lo tanto, el valor de la expresión \(2(a^2 + a^{-2}) - 1\) es:
\[
\boxed{7.5}
\]
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