Respuesta:
Para responder la pregunta del efecto en la gráfica de la función \( f(x) = 2x^3 - 3x - 4 \) al cambiar el coeficiente del término lineal a 3, primero debemos entender cómo afectan los coeficientes a la forma de la gráfica de una función cúbica.
La función dada es:
\[ f(x) = 2x^3 - 3x - 4 \]
Si cambiamos el coeficiente del término lineal de -3 a 3, la nueva función será:
\[ g(x) = 2x^3 + 3x - 4 \]
El término lineal (\( -3x \) o \( 3x \)) afecta principalmente la inclinación de la gráfica, no su desplazamiento horizontal o vertical en el eje. Para entender mejor el cambio, podemos hacer una comparación de las derivadas de las dos funciones, ya que esto nos dará información sobre las pendientes en diferentes puntos.
La derivada de \( f(x) = 2x^3 - 3x - 4 \) es:
\[ f'(x) = 6x^2 - 3 \]
La derivada de \( g(x) = 2x^3 + 3x - 4 \) es:
\[ g'(x) = 6x^2 + 3 \]
Al comparar las derivadas, notamos que \( f'(x) \) tiene un término constante negativo (-3) mientras que \( g'(x) \) tiene un término constante positivo (3). Esto significa que en cada punto de la gráfica, la pendiente de \( g(x) \) será mayor que la pendiente de \( f(x) \) en la misma coordenada \( x \). Por lo tanto, la gráfica de \( g(x) \) será "más abierta" o más pronunciada en comparación con la gráfica de \( f(x) \).
Dicho esto, de las opciones proporcionadas, la correcta es:
- La gráfica es más abierta en sus ramas.
Esto indica que la gráfica de la nueva función con el término lineal cambiado a 3 será más pronunciada en sus inclinaciones en comparación con la función original.
