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1. Si la pendiente de una recta es 3 y la recta pasa por el punto (2, 5), ¿cuál es la ecuación de la recta?
a) y=3x+1
b) y=3x-1
c) y=-3x-1
d) y = 3x+5
Respuesta:es la A

​

Sagot :

Arkytaidn

La ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,5) y cuya pendiente m es igual a 3 expresada en la forma explícita está dada por:

[tex]\huge\boxed {\bold { y =3x-1 }}[/tex]

Siendo correcta la opción b

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada

Cuya forma está dada por:

[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]

Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m = 3 es la pendiente. Como conocemos el punto P (2,5) tomaremos x1 = 2 e y1 = 5

Por tanto:

[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold {m=3 } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { P \ (2,5 )}[/tex]

[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y - (5) = 3 \cdot (x- (2)) }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y-5=3 \cdot (x-2) }}[/tex]

Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma punto pendiente

Reescribimos la ecuación en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen

También llamada forma principal o explícita

Que responde a la forma:

[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

Resolvemos para y

[tex]\boxed {\bold { y-5=3 \cdot (x-2) }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y -5 =3x -6 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y =3x-6+5 }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { y =3x-1 }}[/tex]

Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma explícita

Aunque el enunciado no lo pida

Reescribimos la ecuación en la forma general de la recta

También llamada forma implícita

Que responde a la forma:

[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {y =3x-1 }}[/tex]

[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]

[tex]\boxed {\bold { 3x -1 -y= 0}}[/tex]

[tex]\large\textsf{Obteniendo }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { 3x - y -1= 0 }}[/tex]

Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma general o implícita

Trazado de la recta:

Dado que bastan dos puntos para trazar una recta:

Tomamos el punto P (2,5) -dado por enunciado- perteneciente a la recta

[tex]\large\boxed {\bold { P (2,5) }}[/tex]

Luego hallamos otro punto mediante el término independiente b visto en el inciso anterior

Y b que es la intersección con el eje Y es la ordenada al origen:

[tex]\bold{b= -1 }[/tex]

Luego podemos determinar el punto de corte con el eje Y o eje de ordenadas.

Donde en el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:  

Punto de corte con el eje Y

[tex]\large\boxed {\bold { \left (0,-1\right ) }}[/tex]

Empleando estos dos puntos conocidos pertenecientes a la recta para trazarla

Se agrega gráfico como archivo adjunto

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