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¡Hodaaaaaaaaa! Demostraremos que la ecuación x² - 6x + 8y - 15 = 0 representa una parábola. Para ello, utilizaremos el método de completar el cuadrado. A continuación, te mostraré los pasos detallados:
1. Empezamos por reorganizar la ecuación moviendo todos los términos con "x" al lado izquierdo y todos los términos sin "x" al lado derecho:
x² - 6x = -8y + 15
2. A continuación, completamos el cuadrado para el término que contiene "x". Para ello, tomamos la mitad del coeficiente de "x" (-6/2 = -3) y lo elevamos al cuadrado (9). Añadimos esta cantidad tanto al lado izquierdo como al lado derecho de la ecuación:
x² - 6x + 9 = -8y + 15 + 9
Simplificamos:
(x - 3)² = -8y + 24
3. Ahora, reorganizamos la ecuación para resaltar la forma canónica de una parábola:
(x - 3)² = -8(y - 3)
Dividimos por -8 para obtener una ecuación en la forma estándar:
(x - 3)²/(-8) = y - 3
4. Simplificamos aún más:
-(x - 3)²/8 = y - 3
Multiplicamos por -1 para obtener una ecuación positiva:
(x - 3)²/8 = 3 - y
5. Ahora podemos identificar los elementos clave de la parábola:
- La parábola tiene su vértice en el punto (3, 3).
- El eje de simetría de la parábola es una línea vertical que pasa por el vértice, es decir, x = 3.
- La parábola se abre hacia arriba porque el coeficiente de (x - 3)² es positivo.
- El foco de la parábola se encuentra en el punto (3, 2.875).
- La directriz de la parábola es la línea horizontal y = 3.125.
- La distancia entre el foco y la directriz es la longitud del lado recto, que en este caso es 0.25.