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Sagot :
La altura h del edificio es de 50√3 metros o de aproximadamente 86.60 metros
Jorge se encontraba inicialmente a una distancia de 150 metros del edificio
Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Donde el triángulo 30-60 es lo que se denomina un triángulo notable
Representamos la situación del problema en dos triángulos rectángulos:
El ABC: el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura del edificio, el lado BC que representa la distancia sobre la línea del suelo desde el observador hasta el pie del edificio -donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción- : la del segmento DB: donde el observador avanzó hacia el edificio 100 metros hasta otro punto del suelo o de observación, y no sabemos la longitud del segmento DC - a la cual llamaremos distancia "x" - y el lado AB es la línea visual hasta la parte superior del edificio visto con un ángulo de elevación de 30°
El ACD: el cual está configurado por el lado AC que equivale a la altura del edificio, el lado DC que es la distancia sobre el plano del suelo desde el observador -ubicado en el segundo punto de avistamiento- hasta el pie del edificio luego de haber avanzado en línea recta hacia allí 100 metros. Esta distancia es de valor desconocido y es a la que llamamos distancia "x". Y por último tenemos el lado AD que equivale a la línea visual hasta la cima del edificio visto con un ángulo de elevación de 60°, dado que el ángulo se duplica
Donde se pide hallar:
La altura h del edificio
La distancia a la que se encontraba Jorge inicialmente
Planteamos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable h
Donde "x" será la distancia a hallar desde el segundo punto de observación hasta el pie del edificio
Y donde la incógnita "h" será la altura del edificio
Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Siendo la altura "h" del edificio el cateto opuesto a los ángulos dados y en donde las diferentes distancias hasta el edificio son los catetos adyacentes de los respectivos ángulos de elevación
En donde la altura "h" del edificio es un valor que no cambiará para ninguna de las distancias de donde el observador se encuentre
Y como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente, los dos ángulos de elevación según se sitúe la persona en un punto del plano horizontal o del suelo, y se debe hallar la distancia x y la altura del edificio emplearemos la razón trigonométrica tangente para determinar las incógnitas
Hallamos la distancia x -desde el segundo punto de observación hasta el pie del edificio-
Planteamos un sistema de ecuaciones
[tex]\boxed {\bold {tan (60^o) = \frac{h}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = x \cdot tan(60^o ) } }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {tan (30^o) = \frac{h}{x +100} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = (x + 100) \cdot tan (30^o) } }[/tex]
Igualamos las dos expresiones para hallar x
[tex]\boxed { \bold {x \cdot tan(60^o)= (x + 100) \cdot tan(30^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x \cdot tan(60^o) = x \cdot tan(30^o) +100 \cdot tan(30^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x \cdot tan(60^o) - x \cdot tan(30^o) =100 \cdot tan(30^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x \cdot (tan(60^o) - \ tan(30^o) )=100\cdot tan(30^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{ 100 \cdot tan(30^o) }{ tan(60^o) - \ tan(30^o) } }}[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{3} }[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 60 grados es de }\bold{ \sqrt{3} }[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{ 100 \cdot \frac{\sqrt{3} }{3} }{ \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3} }{3} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{ 100 \cdot \frac{\sqrt{3} }{3} }{ \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3} }{3} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{ 100 \cdot \frac{\sqrt{3} }{3} }{ \frac{3\sqrt{3} }{3} - \frac{\sqrt{3} }{3} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{ 100 \cdot \frac{\sqrt{3} }{3} }{ \frac{2\sqrt{3} }{3} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = 100 \cdot \frac{\sqrt{3} }{3} \cdot \frac{3}{2\sqrt{3} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = 100 \cdot \frac{\not \sqrt{3} }{\not3} \cdot \frac{\not3}{2\not \sqrt{3} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{100}{2} \ m }}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold {x = 50 \ metros }}[/tex]
La distancia x es de 50 metros
Conocida la distancia x
Determinamos a que distancia se encontraba Jorge inicialmente
[tex]\boxed { \bold {Distancia \ Inicial= 100 \ m +x }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {Distancia \ Inicial= 100 \ m + 50 \ m }}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold {Distancia \ Inicial= 150 \ metros }}[/tex]
Jorge se encontraba inicialmente a una distancia de 150 metros
El cálculo de la altura del edificio se agrega en archivo adjunto
Se adjunta gráfico a escala que representa la situación, donde se comprueba el resultado obtenido
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