Respuesta:
Explicación paso a paso:
Para rotar el punto
=
(
1
,
1
,
0
)
P=(1,1,0) alrededor del vector
=
(
1
,
1
,
1
)
V=(1,1,1) por
12
0
∘
120
∘
utilizando cuaterniones, primero necesitamos encontrar el cuaternión que representa la rotación. Luego aplicaremos la fórmula de rotación de un punto mediante cuaterniones.
Paso 1: Encontrar el cuaternión de rotación:
Dado un vector
a y un ángulo
θ de rotación, el cuaternión de rotación se puede calcular como:
=
cos
(
2
)
+
sin
(
2
)
⋅
∥
∥
q=cos(
2
θ
)+sin(
2
θ
)⋅
∥v∥
v
Donde:
q es el cuaternión de rotación.
θ es el ángulo de rotación.
v es el vector de rotación.
∥
∥
∥v∥ es la magnitud del vector de rotación.
Para este caso:
=
12
0
∘
=
2
3
θ=120
∘
=
3
2π
radianes.
=
(
1
,
1
,
1
)
v=(1,1,1).
Calculamos
∥
∥
∥v∥:
∥
∥
=
1
2
+
1
2
+
1
2
=
3
∥v∥=
1
2
+1
2
+1
2
=
3
Entonces, el cuaternión de rotación es:
=
cos
(
3
)
+
sin
(
3
)
⋅
(
1
,
1
,
1
)
3
q=cos(
3
π
)+sin(
3
π
)⋅
3
(1,1,1)
Paso 2: Rotar el punto usando el cuaternión:
Dado un punto
=
(
1
,
1
,
0
)
P=(1,1,0), lo representamos como un cuaternión
=
(
0
,
1
,
1
,
0
)
p=(0,1,1,0), donde el primer componente es cero y los siguientes tres componentes son las coordenadas del punto
P.
La rotación del punto
P se realiza multiplicando el cuaternión
p por el cuaternión
q y su conjugado
∗
q
∗
, y luego tomando la parte imaginaria del resultado.
′
=
⋅
⋅
∗
p
′
=q⋅p⋅q
∗
Una vez que tenemos
′
p
′
, las últimas tres componentes del cuaternión
′
p
′
representan las coordenadas del punto rotado.
Entonces, aplicando estos pasos:
′
=
(
⋅
)
⋅
∗
p
′
=(q⋅p)⋅q
∗
′
=
(
1
1
−
⋅
2
−
⋅
3
−
⋅
4
)
+
(
1
2
+
⋅
1
+
⋅
4
−
⋅
3
)
+
(
1
3
−
⋅
4
+
⋅
1
+
⋅
2
)
+
(
1
4
+
⋅
3
−
⋅
2
+
⋅
1
)
p
′
=(q
1
p
1
−q⋅p
2
−q⋅p
3
−q⋅p
4
)+(q
1
p
2
+q⋅p
1
+q⋅p
4
−q⋅p
3
)i+(q
1
p
3
−q⋅p
4
+q⋅p
1
+q⋅p
2
)j+(q
1
p
4
+q⋅p
3
−q⋅p
2
+q⋅p
1
)k
Donde:
1
=
0
p
1
=0 (la parte real del cuaternión
p).
2
=
1
p
2
=1.
3
=
1
p
3
=1.
4
=
0
p
4
=0.
1
q
1
es la parte escalar de
q.
Calculamos
1
q
1
:
1
=
cos
(
3
)
=
1
2
q
1
=cos(
3
π
)=
2
1
Calculamos
⋅
q⋅p:
⋅
=
(
cos
(
3
)
+
sin
(
3
)
⋅
(
1
,
1
,
1
)
3
)
⋅
(
0
,
1
,
1
,
0
)
q⋅p=(cos(
3
π
)+sin(
3
π
)⋅
3
(1,1,1)
)⋅(0,1,1,0)
=
(
1
2
,
3
2
⋅
1
3
,
3
2
⋅
1
3
,
3
2
⋅
1
3
)
=(
2
1
,
2
3
⋅
3
1
,
2
3
⋅
3
1
,
2
3
⋅
3
1
)
=
(
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
2
)
=(
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
)
Ahora calculamos
⋅
⋅
∗
q⋅p⋅q
∗
:
⋅
⋅
∗
=
(
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
2
)
⋅
(
1
2
,
−
1
2
,
−
1
2
,
−
1
2
)
q⋅p⋅q
∗
=(
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
)⋅(
2
1
,−
2
1
,−
2
1
,−
2
1
)
=
(
1
4
−
1
4
−
1
4
−
1
4
,
1
4
+
1
4
−
1
4
−
1
4
,
1
4
−
1
4
+
1
4
−
1
4
,
1
4
−
1
4
−
1
4
+
1
4
)
=(
4
1
−
4
1
−
4
1
−
4
1
,
4
1
+
4
1
−
4
1
−
4
1
,
4
1
−
4
1
+
4
1
−
4
1
,
4
1
−
4
1
−
4
1
+
4
1
)
=
(
0
,
0
,
0
,
0
)
=(0,0,0,0)
Entonces, el punto
′
P
′
es
(
0
,
0
,
0
)
(0,0,0). El punto
P ha sido rotado a través de un ángulo de
12
0
∘
120
∘
alrededor del vector
V y ha sido llevado al origen.
Espero que esto aclare cómo se realiza la rotación de un punto utilizando cuaterniones.
