Respuesta:
Para resolver la ecuación \( 1 + \tan(\alpha) = \sec(\alpha) \), utilizaremos las identidades trigonométricas básicas. Aquí están los pasos para resolver la ecuación:
1. **Recordemos las identidades trigonométricas básicas:**
\[
\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}
\]
\[
\sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)}
\]
2. **Sustituyamos las identidades en la ecuación:**
\[
1 + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{1}{\cos(\alpha)}
\]
3. **Multipliquemos ambos lados de la ecuación por \(\cos(\alpha)\) para eliminar los denominadores:**
\[
\cos(\alpha) \left(1 + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\right) = \cos(\alpha) \cdot \frac{1}{\cos(\alpha)}
\]
Simplificando, obtenemos:
\[
\cos(\alpha) + \sin(\alpha) = 1
\]
4. **Analicemos la ecuación obtenida:**
\[
\cos(\alpha) + \sin(\alpha) = 1
\]
Sabemos que:
\[
\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1
\]
Esto puede darnos una pista de que deberíamos verificar ángulos específicos que satisfacen esta ecuación.
5. **Intentemos encontrar los valores de \(\alpha\) que satisfacen esta ecuación:**
\[
\cos(\alpha) + \sin(\alpha) = 1
\]
Probaremos algunos ángulos especiales:
- Para \(\alpha = 0\):
\[
\cos(0) + \sin(0) = 1 + 0 = 1
\]
Esta es una solución válida.
- Para otros ángulos como \(\alpha = \frac{\pi}{4}\), tenemos:
\[
\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \neq 1
\]
Por lo tanto, la única solución en el rango de \(0 \leq \alpha < 2\pi\) que satisface la ecuación \( 1 + \tan(\alpha) = \sec(\alpha) \) es \(\alpha = 0\).
### Resumen:
La solución para la ecuación \( 1 + \tan(\alpha) = \sec(\alpha) \) es \(\alpha = 0\).
