Respuesta:
Para encontrar el momento en el que las velocidades de las partículas son iguales en magnitud y opuestas en dirección, primero necesitamos determinar las ecuaciones de velocidad de cada partícula.
Las posiciones de las partículas están dadas por:
\[
x_1 = 2t + t^2
\]
\[
x_2 = 4 - 4t + t^2
\]
Primero, derivamos estas ecuaciones con respecto al tiempo \( t \) para encontrar las velocidades \( v_1 \) y \( v_2 \):
\[
v_1 = \frac{dx_1}{dt} = \frac{d}{dt}(2t + t^2) = 2 + 2t
\]
\[
v_2 = \frac{dx_2}{dt} = \frac{d}{dt}(4 - 4t + t^2) = -4 + 2t
\]
Para que las velocidades sean iguales en magnitud y opuestas en dirección, debemos tener \( v_1 = -v_2 \). Así que planteamos la ecuación:
\[
2 + 2t = -(-4 + 2t)
\]
Simplificamos esta ecuación:
\[
2 + 2t = 4 - 2t
\]
Sumamos \( 2t \) a ambos lados de la ecuación:
\[
2 + 4t = 4
\]
Restamos 2 de ambos lados:
\[
4t = 2
\]
Dividimos entre 4:
\[
t = \frac{1}{2}
\]
Por lo tanto, el momento en que las velocidades de las partículas son iguales en magnitud y opuestas en dirección es \( t = \frac{1}{2} \).
