La altura h de la torre es de 5√3 metros o de aproximadamente 8.66 metros
Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Donde el triángulo dado de 30-60 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable
La altura de la torre junto con el suelo -donde este se asienta- forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura de la torre, el lado AC (b) que representa la longitud de la sombra proyectada por la torre hasta cierto punto donde esta se extiende -ubicado en A, donde se encuentra el observador-. Teniendo finalmente el lado AB (c) que es la línea visual desde el punto donde culmina la sombra de la torre,-donde se halla el observador-hasta la cima de la torre, la cual es vista con un ángulo de elevación al sol de 30°
Donde se pide hallar:
La altura h de la torre
Esto se puede observar en el gráfico adjunto
Conocemos la longitud de la sombra proyectada por la torre y de un ángulo de elevación al sol de 30°
- Longitud de la sombra proyectada por la torre = 15 metros
- Ángulo de elevación = 30°
- Debemos hallar la altura h de la torre
Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la longitud de la sombra proyectada por la torre y conocemos un ángulo de elevación al sol de 30° y debemos hallar la medida de la altura h de la torre, la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α
Razones trigonométricas con ángulos notables
Hallamos la altura h de la torre
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{\alpha =30^o}[/tex]
Como el triángulo es notable de 30-60 al conocer el valor del cateto adyacente al ángulo de 30°, para hallar la dimensión del cateto opuesto basta dividir el valor del cateto adyacente al ángulo de 30° entre √3
Los cálculos nos darán la razón
Planteamos
[tex]\boxed{\bold { tan(30^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ altura\ de \ la \ torre }{ sombra \ de \ la \ torre } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura\ de \ la \ torre= sombra \ de \ la \ torre \cdot tan(30^o) } }[/tex]
Como tenemos un ángulo notable
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es } \bold { \frac{\sqrt{3} }{3} }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura\ de \ la \ torre = 15 \ m \cdot tan(30^o) } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {altura\ de \ la \ torre = 15 \ m \cdot \frac{\sqrt{3} }{3} } }[/tex]
[tex]\textsf{Simplificando }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura\ de \ la \ torre= 5\cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3} }{3} \ m } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura\ de \ la \ torre = 5\cdot \not3 \cdot \frac{\sqrt{3} }{\not3} \ m } }[/tex]
[tex]\textsf{Expresado en Forma Exacta: }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { altura\ de \ la \ torre = 5\sqrt{3} \ metros } }[/tex]
[tex]\textsf{Expresado de manera decimal: }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { altura\ de \ la \ torre \approx 8.66 \ metros } }[/tex]
Luego la altura h de la torre es de 5√3 metros o de aproximadamente 8.66 metros
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto, donde se comprueba el resultado obtenido
