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Respuesta:
Para maximizar el volumen de la caja, debemos maximizar el área de la base y la altura de la caja.
1. **Determinar el lado del cuadrado que se recorta:**
- Llamemos \( x \) a la longitud del lado del cuadrado que se recorta.
- Como la hoja de hojalata tiene un lado de 64 pulgadas, cuando cortamos esquinas en forma de cuadrados iguales de tamaño \( x \), la longitud del lado de la base de la caja será \( 64 - 2x \).
2. **Calcular el área de la base:**
- El área de la base de la caja será \( A_base}= (64 - 2x)^2 \) pulgadas cuadradas.
3. **Calcular la altura de la caja:**
- La altura de la caja será igual al lado del cuadrado que se corta, es decir, \( x \) pulgadas.
4. **Calcular el volumen de la caja:**
- El volumen de la caja será \( V = A_basexAltura.
- Sustituimos \( A_{base}) y ( {Altura} ) en la ecuación para obtener \( V \).
5. **Encontrar el máximo volumen:**
- Para encontrar el valor máximo de \( V \), derivamos \( V \) con respecto a \( x \), igualamos la derivada a cero y resolvemos para \( x \).
- Luego, comprobamos si este valor de \( x \) produce un máximo usando la segunda derivada.
Vamos a realizar estos pasos:
1. **Determinar el lado del cuadrado que se recorta:**
- \( x \) es el lado del cuadrado que se recorta.
2. **Calcular el área de la base:**
- \( A_{base} = (64 - 2x)^2 \).
3. **Calcular la altura de la caja:**
- La altura de la caja es igual al lado del cuadrado que se corta, \( x \) pulgadas.
4. **Calcular el volumen de la caja:**
- ( V = A_{base}{Altura} = (64 - 2x)^2 x ).
5. **Encontrar el máximo volumen:**
- Derivamos \( V \) con respecto a ( x ) y resolvemos \( \frac{dV}{dx} = 0 \) para encontrar el valor crítico de ( x ).
- Comprobamos si este valor de ( x ) produce un máximo utilizando la segunda derivada. Si d^2Vdx^2< 0 entonces x corresponde a un máximo.