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Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por (X^2 - 4) y se anule para (X = 3) y (X = 5)
Sea
P(x) = ax^4 + bx³ + cx² + dx + e
el polinomio buscado.
Hagamos la división que nos dicen:
.ax^4 + bx³ . + . . cx² . . + . . .dx . . + . . . . e | x² - 4
-ax^4 . . . . . + . .4ax² . . . . . . . . . . . . . . . . .+---------
-------------------------------- . . . . . . . . . . . . . . . . . ax² + bx + (4a + c)
. . . . . .bx³ + (4a+c)x²
. . . . . -bx³ . . . . . . . . + . . . 4bx
. . . . .--------------------------------------
. . . . . . . . . . (4a+c)x² + (4b+d)x
. . . . . . . . . .-(4a+c)x² . . . . . . . . + (16a+4c)
. . . . . . . . . .---------------------------------------…
. . . . . . . . . . . . . . . . . . (4b+d)x + (16a+4c+e)
El residuo debe ser 0, por tanto
4b + d = 0 . . . . . . . (i)
Y
16a + 4c + e = 0 . . (ii)
Lo anterior significa que
(ax^4 + bx³ + cx² + dx + e) / (x² - 4) = ax² + bx + (4a + c)
o lo que es lo mismo,
ax^4 + bx³ + cx² + dx + e = [ ax² + bx + (4a + c) ](x² - 4) . . . (*)
Recordemos que
x² - 4 = (x + 2)(x - 2)
Si el polinomio se anula para
x = 3
y para
x = 5
eso significa que ambos valores son raíces del polinomio, y además (como es divisible también por x² - 4) las otras raíces son
x = 2
y
x = -2
por lo tanto podemos expresar P(x) como el producto de sus raíces:
P(x) = (x - 3)(x - 5)(x - 2)[ x - (-2) ]
P(x) = (x - 3)(x - 5)(x - 2)(x + 2)
P(x) = (x² - 8x + 15)(x² - 4)
y por lo tanto, viendo (*) y la anterior ecuación, tenemos la siguiente equivalencia:
x² - 8x + 15 = ax² + bx + (4a + c)
de donde al igualar los coeficientes de cada término tenemos:
a = 1
b = -8
4a + c = 15 ---> 4(1) + c = 15 ---> 4 + c = 15 ---> c = 15 - 4 ---> c = 11
De (i):
4(-8) + d = 0
-32 + d = 0
d = 32
De (ii):
16(1) + 4(11) + e = 0
16 + 44 + e = 0
60 + e = 0
e = -60
y por tanto el polinomio buscado es:
P(x) = x^4 - 8x³ + 11x² + 32x - 60