Ok, si conoces el diametro de la circunferencia, conoces el radio. Sea r el radio de la circunferencia y n el número de lados del polígono inscrito. Ese polígono esta dividido en n triangulos isosceles congruentes (Dibuja una figura para que me vayas entendiendo con n = 5 o sea un pentagono)
Como lo que buscas es el lado L del poligono, notemos que si trazamos la altura de uno de esos triangulos, esta lo divide en dos triangulos rectangulos iguales cuya hipotenusa es r, el angulo central es 360/2n = 180/n, entonces aplicando la funcion seno encontraremos la mitad del lado L:
Sen (180/n) = cateto opuesto/hip = (L/2) / r
Por lo que L/2 = r sen(180/n) y entonces
L = 2r sen(180/n)
Así que la formula que buscas es:
PERIMETRO = 2nr sen(180/n)
donde n es el numero de lados del poligono regular
r es el radio de la circunferencia.
