La carga que equilibra el sistema tiene que estar a una distancia D/2 de -q en dirección opuesta a la dirección de la carga +4q, y tiene que ser positiva y de valor +q.
¿Como determinar el signo y la posición de la carga que equilibra el sistema?
Para que el sistema esté en equilibrio, la suma de las fuerzas en cada una de las cargas tiene que ser nula. Por un lado, la carga -q, para la cual vamos a adoptar la posición x=0, es atraída por la carga +4q, en la posición x=D, la fuerza ejercida por Qx sobre ella tiene que compensar a la atracción de la segunda carga:
[tex]k\frac{q.4q}{D^2}-k\frac{q.Q_x}{x^2}=0\\\\\frac{4q}{D^2}-\frac{Q_x}{x^2}=0[/tex]
También la fuerza ejercida por Qx sobre la carga +4q tiene que compensar a la atracción ejercida por la carga -q:
[tex]-k\frac{q.4q}{D^2}+k\frac{q.Q_x}{(x+D)^2}=0\\\\\frac{4q}{D^2}-\frac{Q_x}{(x+D)^2}=0[/tex]
Comparando las dos ecuaciones que obtuvimos podemos calcular la posición de la carga Qx:
[tex]\frac{Q_x}{x^2}=\frac{Q_x}{(x+D)^2}\\\\\frac{1}{x^2}=\frac{1}{(x+D)^2}\\\\(x+D)^2=x^2\\\\x^2+2Dx+D^2=x^2\\\\D^2+2Dx=0\\\\D(D+2x)=0[/tex]
Con lo cual, la tercera carga tiene que estar en la posición x=-D/2, o sea, a la izquierda de -q suponiendo que +4q esté a la derecha. A partir de cualquiera de las dos ecuaciones iniciales podemos hallar la magnitud de la carga:
[tex]\frac{4q}{D^2}-\frac{Q_x}{(\frac{D}{2})^2}=0\\\\\frac{4q}{D^2}-\frac{4Q_x}{D^2}=0\\\\4q=4Q_x\\Q_x=q[/tex]
La carga Qx tiene que atraer hacia sí a la carga -q y repeler a la carga +4q, por lo que tiene que ser positiva.
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