Explicación paso a paso:
Tenemos:
[tex]w=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}[/tex]
a) Forma binómica
Recordemos que la forma exponencial de un número complejo se basa en el número de Euler (e): [tex]w=re^{\theta i}[/tex] Donde r es el módulo de w.
Entonces, utilizamos el teorema de Pitágoras para calcular el módulo:
[tex]|w|=r=\sqrt{a^2+b^2}[/tex] donde [tex]a=-\sqrt{2[/tex] y [tex]b=-\sqrt{2}[/tex]
[tex]|w|=r=\sqrt{(-\sqrt{2})^2+(-\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2[/tex]
[tex]|w|=r=2[/tex]
Ahora procedemos a calcular el ángulo, debemos tener en cuenta en que cuadrante se ubica nuestro ángulo, en este caso se ubica en el tercer cuadrante:
Consideración: para la forma exponencial el ángulo siempre debe quedar expresado en radianes.
[tex]\theta=tan^{-1}(\frac{b}{a} )[/tex]
[tex]\theta=tan^{-1}(\frac{-\sqrt{2} }{-\sqrt{2} } )[/tex]
[tex]\theta=tan^{-1}(1)[/tex]
[tex]\theta=\frac{5\pi}{4}[/tex]
Por lo tanto, la forma exponencial de w es:
[tex]w=2e^{\frac{5\pi}{4}i}[/tex]
b) Forma trigonométrica de z, donde z = w^19
Para resolver este inciso debemos pasar w de forma binomica a forma trigonométrica para utilizar el Teorema de Moivre:
[tex][r(cos\:\theta\:+\:i\:sen\:\theta)]^n=r^n(cos\:n\theta\:+i\:sen\:n\theta)[/tex]
donde r es el módulo de w, [tex]\theta[/tex] es el argumento (ángulo) de w y n es el exponente.
Tenemos: [tex]r=2,\: \theta=\frac{5\pi}{4}=225^o\:y\:n=19[/tex]
Nota: en este caso por comodidad usaré el ángulo en grados.
[tex]z=2^{19}(cos\:19(225)+i\:sen\:19(225))[/tex]
[tex]z=2^{19}(cos\:(4275)+i\:sen\:(4275))[/tex]
Notemos que el ángulo excede los 360 grados, por lo tanto, debemos restarle las vueltas que recorre para que el ángulo sea menor o igual a 360, por lo tanto:
[tex]\frac{4275}{360}=11.88[/tex] --> en este caso solo nos interesa la parte entera que es 11
La parte entera nos indica cuantas vueltas a recorrido, luego:
[tex]4275-360*11=315[/tex]
Volviendo a la forma trigonométrica:
Respuesta: [tex]z=2^{19}(cos\:(315)+i\:sen\:(315))[/tex]
c) Forma binómica de z
Para pasar de forma trigonométrica a forma binómica debemos calcular lo que está entre paréntesis:
[tex]z=2^{19}(cos\:(315)+i\:sen\:(315))[/tex]
[tex]z=2^{19}(\frac{1}{\sqrt{2} } -\frac{1}{\sqrt{2}}i)[/tex]
Respuesta: [tex]z=(\frac{2^{19}}{\sqrt{2} } -\frac{2^{19}}{\sqrt{2}}i)[/tex]
Te adjunto la gráfica para que cheques el ángulo y además un link (borra todos los guiones) con la tabla de los ángulos acorde a su cuadrante :)
