Respuesta:
La altura de un árbol que una muchacha observa a través de un espejo que se encuentra a una distancia de 4,5m del mismo es de H=11,4m.
Explicación paso a paso:
La ley de Snell ofrece un concepto interesante para la resolución de este tipo de problemas. Específicamente la Ley de Snell de la reflexión, la cual dice:
\theta_{i}=\theta_{r}θ
i
=θ
r
Donde,
\theta_{i}θ
i
: Ángulo de incidencia
\theta_{r}θ
r
: Ángulo de reflexión
Ver figura adjunta.
Sabiendo todo lo anterior y con ayuda de las razones trigonométricas se realiza el desarrollo del problema. Para el triángulo de la derecha, el cual corresponde a la muchacha, se tiene que:
\begin{gathered}tan(\theta_{i})=\frac{cateto \quad opuesto}{cateto \quad adyadente} \\tan(\theta_{i})=\frac{1,65}{0,65}\\tan(\theta_{i})=2,54\end{gathered}
tan(θ
i
)=
catetoadyadente
catetoopuesto
tan(θ
i
)=
0,65
1,65
tan(θ
i
)=2,54
Aplicamos propiedades de las funciones trigonométricas inversas:
\begin{gathered}\theta_{i}=arctan(2,54)\\\theta_{i}=1,195 \quad rad\end{gathered}
θ
i
=arctan(2,54)
θ
i
=1,195rad
Luego, para el triángulo de la izquierda, el cual corresponde al árbol, se tiene que:
\begin{gathered}tan(\theta_{r})=\frac{cateto \quad opuesto}{cateto \quad adyadente} \\tan(\theta_{r})=\frac{H}{4,5}\end{gathered}
tan(θ
r
)=
catetoadyadente
catetoopuesto
tan(θ
r
)=
4,5
H
Donde,
H: Altura del árbol.
\theta_{i}=\theta_{r}=1,1071 \quad radθ
i
=θ
r
=1,1071rad
Por lo tanto,
\begin{gathered}H=4,5\cdot tan(1,195)\\H= 11,4 \quad metros\end{gathered}
H=4,5⋅tan(1,195)
H=11,4metros
