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Tenemos la función:
[tex]f(x)=(2x^{3} -3x^{2} )^{\frac{3}{2} }[/tex]
La derivamos:
[tex]\rightarrow f'(x)=\frac{d}{dx} (2x^{3} -3x^{2} )^{\frac{3}{2} }[/tex]
Para empezarla a derivar aplicamos la regla de la cadena:
[tex]\rightarrow f'(x)=\frac{d}{dx} (2x^{3} -3x^{2} )^{\frac{3}{2} } \frac{d}{dx}(2x^{3}-3x^{2} )[/tex]
La derivada de un número con potencia sigue esta fórmula: [tex]\bf{\frac{d}{dx}x^{n}=n^{n-1} }[/tex]:
[tex]\rightarrow f'(x)=(\frac{3}{2} )(2x^{3} -3x^{2} )^{\frac{3}{2}-1 } ((3)2x^{3-1}-(2)3x^{2-1} )[/tex]
Desarrollamos:
[tex]\rightarrow f'(x)=(\frac{3}{2} )(2x^{3} -3x^{2} )^{\frac{3}{2}-\frac{2}{2} } ((3)2x^{3-1}-(2)3x^{2-1} )\\\\\rightarrow f'(x)=(\frac{3}{2} )(2x^{3} -3x^{2} )^{\frac{1}{2} } ((3)2x^{2}-(2)3x^{1} )\\\\\rightarrow f'(x)=(\frac{3(2x^{3} -3x^{2} )^{\frac{1}{2} } }{2} )(6x^{2}-6x )\\\\\rightarrow f'(x)=(\frac{3\sqrt{2x^{3} -3x^{2} } }{2} )(6x^{2}-6x) \\\\\rightarrow f'(x)=(\frac{3\sqrt{(x^{2} )(2x -3) } }{2} )(6x^{2}-6x) \\\\\rightarrow f'(x)=(\frac{3x\sqrt{2x -3 } }{2} )(6x^{2}-6x)[/tex]
Hacemos la multiplicación:
[tex]\rightarrow f'(x)=(\frac{3x\sqrt{2x -3 } }{2} )(\frac{6x^{2}-6x}{1} )\\\\\rightarrow f'(x)=\frac{(3x\sqrt{2x -3 })(6x^{2}-6x) }{2} \\\\\rightarrow f'(x)=\frac{3x(\sqrt{2x -3 })6x(x-1) }{2} \\\\\rightarrow f'(x)=\frac{(18x^{2}) (\sqrt{2x -3 })(x-1) }{2} \\\\\rightarrow f'(x)=9x^{2} (\sqrt{2x -3 })(x-1)[/tex]
Acomodamos el resultado:
[tex]\rightarrow f'(x)=(9x^{2}) (x-1) (\sqrt{2x -3 })[/tex]
¡Listo!, el resultado es:
[tex]\underline {\bf{f'(x)=9x^{2} (x-1) (\sqrt{2x -3 })}}[/tex]