Un intervalo es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es unsubconjunto conexo de la recta real , es decir, una porción de recta entre dos valores dados.
Caracterización
El intervalo real es la parte de que verifica la siguiente propiedad:
Si e pertenecen a con , entonces para todo tal que , se tiene que pertenece a .
Notación
Intervalo abierto (a,b).
Intervalo cerrado [a,b].
Intervalo semiabierto [a,b).
Intervalo semiabierto (a,b].
Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.
Intervalo abierto
No incluye los extremos.
o bien
Notación
conjuntista o en términos de desigualdades:
Intervalo cerrado
Sí incluye los extremos.
Notación
conjuntista o en términos de desigualdades:
Intervalo semiabierto
Incluye únicamente uno de los extremos.
o bien , notación conjuntista:
o bien , notación conjuntista:
Nota:
Si a > b, los intervalos descritos no poseen elementos y denotan al conjunto vacío.
(a,a), [a,a) y (a,a] denotan también al conjunto vacío.
[a,a] denota al conjunto unitario
{a}, también llamado
intervalo degenerado.
Estas notaciones también se utilizan en otras áreas de las matemáticas; por ejemplo, la notación , denota un
par ordenadoen teoría de conjuntos; las
coordenadas de un
punto o un
vector en geometría analítica y álgebra lineal; un
número complejo enálgebra.
Ambas notaciones admiten el símbolo para indicar que no hay cota.
Ejemplos
Clasificación
Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).
La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:
NotaciónIntervaloLongitudDescripción
Intervalo cerrado de longitud finita.
Intervalo semiabierto (
cerrado en a, abierto en b).
Intervalo semiabierto (
abierto en a, cerrado en b).
Intervalo abierto.
Intervalo semiabierto.
Intervalo semiabierto.
Intervalo semiabierto.
Intervalo semiabierto.
Intervalo a la vez abierto y cerrado.
Intervalo cerrado de longitud nula (
intervalo degenerado).
x no existe
Sin longitud.
Conjunto vacío.
Propiedades
La intersección de intervalos de es también un intervalo.
La unión de intervalos de no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía).
Las partes conexas de son exactamente los intervalos.
Los intervalos cerrados sobre una recta se denominan «segmento de recta».
La imagen por una función continua de un intervalo de es un intervalo de . Esta es una formulación del Teorema del valor intermedio.
Aritmética de intervalos
Sean I = [a, b] y J = [c, d] con a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.
Entonces: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que
I + J = [ a + c , b + d ].
I - J = [ a - d, b - c ].
Si se toman a, b, c y d positivos no nulos,
I · J = [ ac, bd ] y
I / J = [ a/d, b/c ].
Generalización
En el espacio métrico , los intervalos son las bolas abiertas y cerradas.
Un intervalo n-dimensional se define como un subconjunto de , que es el producto cartesiano de n intervalos: , uno en cada eje de coordenadas.
De manera más general, se le llama vecindad o entorno de centro a y radio ε, al conjunto de puntos x cuya distancia a a es menor que ε.
