a) El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire del esquiador es de 4.52 segundos
b) El alcance horizontal [tex]\bold { x_{MAX} }[/tex] es de 226 metros, siendo esta magnitud la distancia recorrida horizontalmente por el esquiador
c) La velocidad vertical del esquiador al llegar al piso es de -44.30 metros por segundo (m/s)
Se trata de un problema de tiro horizontal
El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.
Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad
Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical
Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal [tex]\bold { V_{x} }[/tex] debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que [tex](\bold { V_{y} = 0 ) }[/tex], luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.
Las ecuaciones del tiro horizontal son
Para el eje x (MRU)
[tex]\boxed {\bold { x =x_{0} +V_{x} \ . \ t }}[/tex]
Para el eje y (MRUV)
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =V_{0y} +a_{y} \ . \ t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =y_{0} +V_{0y} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{y} \ . \ t^{2} }}[/tex]
Dado que
[tex]\boxed {\bold { y_{0}= H }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{0}= 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { a_{y}= g }}[/tex]
Podemos reescribir como:
Posición
Para el eje x
[tex]\boxed {\bold { x =x_{0} +V \ . \ t }}[/tex]
Para el eje y
[tex]\boxed {\bold { y =H + \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}[/tex]
Velocidad
Para el eje x
[tex]\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}[/tex]
[tex]\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{x} = 0[/tex]
Para el eje y
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}[/tex]
[tex]\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{y} =g[/tex]
SOLUCIÓN
a) Calculamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire del esquiador
[tex]\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g= 9,8 \ m/ s^{2} }[/tex]
Considerando la altura H desde donde ha saltado [tex]\bold {H= 100 \ m }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =H + \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 100 \ m }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 200 \not m }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{20.40816326 \ s^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = 4.517539 \ segundos } }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { t = 4.52 \ segundos } }[/tex]
El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire del esquiador es de 4.52 segundos
b) Hallamos el alcance horizontal del esquiador
[tex]\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { d =50 \ \frac{m}{\not s} \ . \ 4.52\ \not s }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { d = 226 \ metros}}[/tex]
El alcance horizontal [tex]\bold { x_{MAX} }[/tex] es de 226 metros, siendo esta magnitud la distancia recorrida horizontalmente por el esquiador
c) Hallamos la velocidad vertical del esquiador para cuando alcanza el piso
1) Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de 4.52 segundos
Para el eje x - Eje horizontal
Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial
[tex]\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { {V_x} =50 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
Para el eje y - Eje vertical
Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =-9.8 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \ . \ 4.52 \not s }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =-44.296 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { V_{y} =-44.30 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
La velocidad vertical del esquiador al llegar al piso es de -44.30 metros por segundo (m/s)
