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Sagot :
Explicación paso a paso:
Un espacio vectorial es una terna (V, +, ·), donde V es un conjunto
no vac´ıo y +, · son dos operaciones del tipo + : V × V → R, · : R × V → V a las
que llamaremos ’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente y con
las siguientes propiedades: denotando +(u, v) = u + v y ·(λ, v) = λv,
1. u + (v + w)=(u + v) + w, ∀u, v, w ∈ V (asociativa).
2. u + v = v + u, ∀u, v ∈ V (conmutativa).
3. Existe e ∈ V tal que e + v = v + e = v, ∀v ∈ V (elemento neutro).
4. Para cada v ∈ V existe w tal que v + w = w + v = e (elemento opuesto).
5. λ(µv)=(λµ)v, ∀v ∈ V , ∀λ, µ ∈ R (seudo-asociativa).
6. λ(u+v) = λu+λv y (λ+µ)v = λv +µv, ∀u, v ∈ V y ∀λ, µ ∈ R (distributiva).
7. 1v = v,∀v ∈ V (unimodular).
De forma abreviada, diremos que V es un espacio vectorial. A los elementos de V
lo llamamos vectores y a los de R, escalares.
Proposici´on 1.1 En un espacio vectorial V ,
1. El elemento neutro es ´unico. Se denotar´a por 0.
2. El elemento opuesto de un vector es ´unico. Si v es un vector, su opuesto lo
denotamos por −v.
Proposici´on 1.2 En un espacio vectorial se tiene las siguientes propiedades:
1. λ0=0, λ ∈ R.
2. 0v = 0, v ∈ V .
3. (−λ)v = −(λv), λ ∈ R, v ∈ V .
4. Si λv = 0, entonces λ = 0 o v = 0.
A continuaci´on, damos algunos ejemplos de espacios vectoriales:
1. Si n es un n´umero natural, se considera el espacio eucl´ıdeo Rn = {(x1,...,xn); xi ∈
R} con la suma y producto por escalares siguientes:
(x1 ...,xn)+(y1,...,yn)0(x1 + y1,...,xn + yn).
λ(x1,...,xn)=(λx1, . . . , λxn).
Siempre se supondr´a que Rn tiene esta estructura vectorial y que llamaremos
usual.
2. Sea V = {(x, y) ∈ R2
; x − y = 0} con la suma y producto por escalares como
antes.
3. Sea V = {p} un conjunto con un ´unico elemento y con p + p = p y λp = p.
4. Sea V = {f : R → R; f es aplicaci´on} y
(f + g)(x) = f(x) + g(x), (λf)(x) = λf(x), x ∈ R.
5. W = {f : R → R; f es una funci´on diferenciable} y la suma y el producto por
escales est´a definido de forma an´aloga a la del ejemplo anterior.
6. Se considera el conjunto de los polinomios de grado n ∈ N: un polinomio
de grado n ∈ N es una expresi´on del tipo p(X) = a0 + a1X + ... + anXn;
abreviaremos p(X) = n
i=1 aiXi
, donde por convenio X0 = 1 y en vez de
escribir a01 = a0. Dos polinomios p(X) = n
i=1 aiXi y q(X) = n
i=1 biXi se
dir´an iguales si ai = bi para cada i. El conjunto de polinomios de grado n.
lo denotamos por Pn[X].Definimos la siguiente suma de polinomios y de un
escalar por un polinomio:
n
i=1
aiXi
+
n
i=1
biXi
= n
i=1
(ai + bi)Xi
λ
n
i=1
aiXi
= n
i=1
(λai)Xi
Entonces Pn[X] es un espacio vectorial.
7. Sea X = {a1,...,an} un conjunto con n elementos. Se define una palabra
formada por el conjunto X como una expresi´on del tipo x1a1 + ... + xnan,
donde xi ∈ R. Dos palabras x1a1 + ... + xnan y y1a1 + ... + ynan son iguales
si xi = yi. Se define V el conjunto de todas las palabras y se define
(x1a1 + ... + xnan)+(y1a1 + ... + ynan)=(x1 + y1)a1 + ... + (xn + yn)an.
λ(x1a1 + ... + xnan)=(λx1)a1 + ... + (λxn)an.
Entonces V es un espacio vectorial. Como ejemplo, el conjunto de palabras
definidas por {1, X, . . . , Xn} constituyen el espacio Pn[X].
A continuaci´on definimos estructuras de espacio vectorial a partir de la teor´ıa de
conjuntos. Concretamente, a partir del producto cartesiano, aplicacines biyectivas,
espacios cocientes y subconjuntos.
Definici´on 1.2 Sean V1 y V2 dos espacios vectoriales. Se define en V1 × V2 =
{(v1, v2); vi ∈ Vi} las siguientes operaciones:
(v1, v2)+(u1, u2)=(v1 + u1, v2 + u2)
λ(v1, v2)=(λv1, λv2).
Con esta suma y producto por escalares, V1 × V2 es un espacio vectorial y se llama espacio producto.
Como caso particular, se tiene R2 = R × R (¡comprobad que ambos espacios vectoriales coinciden!). De la misma forma, se puede definir el espacio vectorial Rn ×Rm.
Definici´on 1.3 Se considera V un espacio vectorial y V un conjunto biyectivo con
V . Sea f : V → V una biyecci´on entre ambos. Se defineen V la siguiente estructura
de espacio vectorial:
u + v = f(f −1
(u
) + f −1
(v
)).
λv = f(λf −1
(v
)).
Se dice V tiene la estructura vectorial inducida de V por la biyecci´on f.
1. La estructura vectorial cambia si cambia la biyecci´on f.
2. Sea X = {a1,...,an} un conjunto de n elementos y V el conjunto de palabras
definidas a partir de X. Se considera la siguiente biyecci´on entre Rn y V
:
f(x1,...,xn) = x1a1 + ... + xnan.
Entonces la estructura vectorial inducida en V de Rn (con la estructura usual)
y de la biyecci´on f coincide con la estructura de espacio vectorial que ya se
hab´ıa definida en el conjunto de palabras definidas por X.
3. Se considera R con su estructura usual y R+ el conjunto de los n´umeros reales
positivos. Se considera la siguiente biyecci´on: f : R → R+, f(x) = ex.
Entonces la estructura de espacio vectorial inducida en R+ es:
x + y = xy λ ·
x = xλ.
La estructura vectorial inducida en un subconjunto de un espacio vectorial
motiva el estudio de subespacio vectorial.
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