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Sagot :
Una ecuación de segundo grado1 2 o ecuación cuadrática de una variable es una ecuacion
que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo
es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:
donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una grafica de una funcion cuadratica o parabola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal
coincide con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir
dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser el número de soluciones
reales de la ecuación).
Las ecuaciones de la forma como x^2+5x+6=0 se caracterizan porque el coeficiente del término en x^2 es 1.Estas ecuaciones pueden resolverse por la fórmula general:Con sólo suponer en ésta que a=1,pero existe para ella una fórmula particular,que vamos a deducir,
La ecuación es x^2+mx+n=0
1º) Transponiendo n: x^2+mx=-n
2º) Sumando (m^2)/4 a los dos miembros: x^2+mx+(m^2)/4=(m^2)/4-n
3º) Descomponiendo el primer miembro que es un trinomio cuadrado perfecto: (x+m/2)^2=(m^2)/4-n
4º) Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros:
x+m/2=±√( (m^2)/4-n)
5º) Transponiendo m/2 : x=-m/2 ± √((m^2)/4-n)
Ejemplo: Resolver 3x^2-2x(x-4)=x-12 por la fórmula particular
Simplificando la ecuación 3x^2-2x^2+8x=x-12
x^2+7x+12=0
Aquí m=7, n=12, luego aplicando la fórmula particular:
x=-m/2±√(m^2)/4-n)
x=-7/2±√((7^2)/4-12)x=-7/2±√(49/4-12)x=-7/2±√(1/4)x=-7/2±1/2
x=-7/2+1/2=-6/2=-3 x=-7/2-1/2=-8/2=-4
Convengamos que hubiéramos podido calcular las raíces de la ecuación a través de la factorización
x^2+7x+12=0
(x+4)(x+3)=0
(x+4)=0 (x+3)=0 x=-4 x=-3
Pero esta fórmula nos simplifica el trabajo cuando los números son muy grandes y para resolver por el método de factorización debemos descomponerlo en sus factores primos, lo que nos lleva mucho tiempo, lo que no sucede utilizando la fórmula particular: x=-m/2±√((m^2)/4-n) y realizando la sustitución correspondiente.
La ecuación es x^2+mx+n=0
1º) Transponiendo n: x^2+mx=-n
2º) Sumando (m^2)/4 a los dos miembros: x^2+mx+(m^2)/4=(m^2)/4-n
3º) Descomponiendo el primer miembro que es un trinomio cuadrado perfecto: (x+m/2)^2=(m^2)/4-n
4º) Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros:
x+m/2=±√( (m^2)/4-n)
5º) Transponiendo m/2 : x=-m/2 ± √((m^2)/4-n)
Ejemplo: Resolver 3x^2-2x(x-4)=x-12 por la fórmula particular
Simplificando la ecuación 3x^2-2x^2+8x=x-12
x^2+7x+12=0
Aquí m=7, n=12, luego aplicando la fórmula particular:
x=-m/2±√(m^2)/4-n)
x=-7/2±√((7^2)/4-12)x=-7/2±√(49/4-12)x=-7/2±√(1/4)x=-7/2±1/2
x=-7/2+1/2=-6/2=-3 x=-7/2-1/2=-8/2=-4
Convengamos que hubiéramos podido calcular las raíces de la ecuación a través de la factorización
x^2+7x+12=0
(x+4)(x+3)=0
(x+4)=0 (x+3)=0 x=-4 x=-3
Pero esta fórmula nos simplifica el trabajo cuando los números son muy grandes y para resolver por el método de factorización debemos descomponerlo en sus factores primos, lo que nos lleva mucho tiempo, lo que no sucede utilizando la fórmula particular: x=-m/2±√((m^2)/4-n) y realizando la sustitución correspondiente.
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