Como la recta L: 2x-3y+5=0 , es tangente a la circunferencia C de centro c(-1; -2), entonces la distancia D(L; c) es el radio de dicha circunferencia.
Hallamos la distancia D(L;c):
[tex]D(L;c)=| \frac{2(-1)-3(-2)+5}{ \sqrt{2^{2}+(-3)^{2}} }| [/tex]
[tex]=| \frac{-2+6+5}{ \sqrt{4+9} }| [/tex]
[tex]=| \frac{9}{ \sqrt{13} }| [/tex]
[tex]= \frac{9}{ \sqrt{13} }[/tex]
Por tanto: [tex]D(L;c)= \frac{9}{ \sqrt{13} }=Radio[/tex]
Luego conociendo el radio y el centro, la ecuacion de la circunferencia esta dada por:
[tex]C: (X-(-1))^{2}+(Y-(-2))^{2}=( \frac{9}{ \sqrt{13} })^{2}[/tex]
[tex]C: (X+1)^{2}+(Y+2)^{2}= \frac{81}{ 13}[/tex] ...que es la Ecuacion Ordinaria.
Extendemos, operando la Ec. Ordinaria y reduciendo terminos:
[tex](X+1)^{2}+(Y+2)^{2}= \frac{81}{ 13}[/tex]
[tex]X^{2}+2X+1+Y^{2}+4Y+4= \frac{81}{ 13}[/tex]
[tex]13(X^{2}+2X+Y^{2}+4Y+5= \frac{81}{ 13})[/tex]
[tex]13X^{2}+26X+13Y^{2}+52Y+65= 81[/tex]
[tex]13X^{2}+26X+13Y^{2}+52Y+65-81=0[/tex]
[tex]13X^{2}+26X+13Y^{2}+52Y-16=0[/tex]
Por tanto:
[tex]C: 13X^{2}+13Y^{2}+26X+52Y-16=0[/tex] ...Que es la Ecuacion General de la Circunferencia
