Hola!
Dado que [tex]\pi<\alpha<\frac{3\pi}2\to \alpha\in III[/tex].
Por otro lado, de la relación fundamental de la trigonometría
[tex]sen^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1[/tex], si divides todo por [tex]cos^2(\alpha)[/tex], te aparece la tangente, para que puedas cambiarla por su valor:
[tex]tg^2(\alpha)+1=sec^2(\alpha)[/tex]
Dado que en el III cuadrante seno y coseno son negativos y la tangente es positiva, hay que tener en cuenta estos signos para el resultado.
Aplicando la última ecuación con [tex]tg(\alpha)=2\to 2^2+1=sec^2(\alpha)\to sec^2(\alpha)=5\to sec(\alpha)=\sqrt5[/tex]
Pero [tex]sec(\alpha)=\frac1{cos(\alpha)}=\sqrt5\to cos(\alpha)=\frac{\pm1}{\sqrt5}[/tex]
Y aplicando la verdadera relación fundamental de la trigonometría, cambias del valor del coseno al del seno:
[tex]sen^2(\alpha)=1-cos^2(\alpha)=1-\frac15=\frac45\to sen^2(\alpha)=\frac45\to sen(\alpha)=\frac{\pm2}{\sqrt5}[/tex]
Faltaría elegir los signos de las razones y racionalizar, que eso te lo dejo a ti.
Saludos y estudiate esta que suele caer en todos los exámenes.
