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Sagot :
En matemáticas, la factorización es la descomposición de un polinomio en productos, para conseguir la solución de ecuaciones, descomponer en fracciones parciales.
Estos son los diez casos de factorización:
1. Factor de un monomio: en este caso se buscan los factores en los que se puede descomponer el término. Ejemplo:
15ab = 3*5*ab
2. Factor común de monomio: se busca algún factor que se repita en ambos términos. Ejemplo:
[tex] a^{2} + 2a = a(a+2)[/tex]
3. Factor de un polinomio: para este caso en ambos términos el factor que se repite es, entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomio. Ejemplo:
x [ a + b ] + m [ a + b ] = ( x + m ) ( a + b )
4. Factor común por agrupación de términos: tienes que ver que término tienen algo en común con otro término para agruparlo. Por ejemplo tenemos que:
ax + bx + ay + by = [ax + bx] + [ay + by]
Después de agruparlo puedes aplicar el Caso 2, Factor Común Monomio
[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b)
Ahora aplicas el Caso 3, Factor Común Polinomio
x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b)
5.Trinomio cuadrado perfecto: si es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla: el Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino. Por ejemplo:
[tex] (x+3)^{2} [/tex] = [tex] x^{2} + 6x + 9[/tex]
6.Diferencia de cuadrados perfectos: de una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos términos diferente signo). Tenemos los siguientes ejemplos:
a² - b² = (a - b) (a + b)
4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)
7.Caso especial de diferencias de cuadrados perfectos: siguiendo los siguientes pasos para obtener la factorización:
Factorar (a + b)² - c²
Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b)
[(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis
(a + b + c) (a + b – c)
8. Trinomio de la forma x² + bx + c: estos son los pasos mediante un ejemplo:
Para [tex] x^{2} +7x+12[/tex]
- Se buscan 2 números que sumados den 7 y multiplicados den 12
4 +3 = 7
3 x 3 = 12
- Luego los colocamos dentro de productos de sumas para obtener la factorización [tex] x^{2} + 7x + 12 = (x+3)(x+4)[/tex]
9. Trinomio de la forma ax² + bx + c: se deben cumplir los siguientes pasos indicados en el ejemplo para poderlo resolver:
[tex]6 x^{2} -x +2 = 0[/tex]
- Multiplicamos todos los términos del trinomio por el coeficiente del 1er termino (6).
[tex]36 x^{2} -(6)x +2 = 0[/tex]
- Colocamos entre parantesis las raices de 36[tex] x^{2} [/tex]:
(6x )(6x )
- Basándonos en los coeficientes del 2do termino (-1) y en el 3er termino del trinomio (-12), buscamos dos numeros que sumados den (-1) y multiplicados (-12).
-4 + 3 = -1
-4 x 3 = -12
- Ahora los sustituimos en los paréntesis colocados anteriormente y así obtenemos la factorización:
[tex] 6x^{2} - x + 2 = (6x - 3)(6x + 4)[/tex]
10. Suma o diferencia de cubos a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
Se resuelve de la siguiente manera
- El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)
- El cuadrado del 1er termino, [ a² ]
- Se resta[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]
- Se suma [ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ]
Estos son los diez casos de factorización:
1. Factor de un monomio: en este caso se buscan los factores en los que se puede descomponer el término. Ejemplo:
15ab = 3*5*ab
2. Factor común de monomio: se busca algún factor que se repita en ambos términos. Ejemplo:
[tex] a^{2} + 2a = a(a+2)[/tex]
3. Factor de un polinomio: para este caso en ambos términos el factor que se repite es, entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomio. Ejemplo:
x [ a + b ] + m [ a + b ] = ( x + m ) ( a + b )
4. Factor común por agrupación de términos: tienes que ver que término tienen algo en común con otro término para agruparlo. Por ejemplo tenemos que:
ax + bx + ay + by = [ax + bx] + [ay + by]
Después de agruparlo puedes aplicar el Caso 2, Factor Común Monomio
[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b)
Ahora aplicas el Caso 3, Factor Común Polinomio
x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b)
5.Trinomio cuadrado perfecto: si es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla: el Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino. Por ejemplo:
[tex] (x+3)^{2} [/tex] = [tex] x^{2} + 6x + 9[/tex]
6.Diferencia de cuadrados perfectos: de una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos términos diferente signo). Tenemos los siguientes ejemplos:
a² - b² = (a - b) (a + b)
4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)
7.Caso especial de diferencias de cuadrados perfectos: siguiendo los siguientes pasos para obtener la factorización:
Factorar (a + b)² - c²
Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b)
[(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis
(a + b + c) (a + b – c)
8. Trinomio de la forma x² + bx + c: estos son los pasos mediante un ejemplo:
Para [tex] x^{2} +7x+12[/tex]
- Se buscan 2 números que sumados den 7 y multiplicados den 12
4 +3 = 7
3 x 3 = 12
- Luego los colocamos dentro de productos de sumas para obtener la factorización [tex] x^{2} + 7x + 12 = (x+3)(x+4)[/tex]
9. Trinomio de la forma ax² + bx + c: se deben cumplir los siguientes pasos indicados en el ejemplo para poderlo resolver:
[tex]6 x^{2} -x +2 = 0[/tex]
- Multiplicamos todos los términos del trinomio por el coeficiente del 1er termino (6).
[tex]36 x^{2} -(6)x +2 = 0[/tex]
- Colocamos entre parantesis las raices de 36[tex] x^{2} [/tex]:
(6x )(6x )
- Basándonos en los coeficientes del 2do termino (-1) y en el 3er termino del trinomio (-12), buscamos dos numeros que sumados den (-1) y multiplicados (-12).
-4 + 3 = -1
-4 x 3 = -12
- Ahora los sustituimos en los paréntesis colocados anteriormente y así obtenemos la factorización:
[tex] 6x^{2} - x + 2 = (6x - 3)(6x + 4)[/tex]
10. Suma o diferencia de cubos a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
Se resuelve de la siguiente manera
- El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)
- El cuadrado del 1er termino, [ a² ]
- Se resta[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]
- Se suma [ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ]
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