Buenas es mi primer aporte a la pagina y espero serte de ayuda
Primero que nada el problema es un Sistema Compatible Indeterminado (SCI), son ecuaciones de dos planos por lo que buscar la intersección tendría como resultado una recta con infinitas soluciones (en caso de tenerlas). ESTO SUCEDE SIEMPRE QUE TENGAS MAS INCOGNITAS QUE ECUACIONES (En este caso tienes 3 incógnitas y 2 ecuaciones)
El primer paso es elegir una de las incógnitas y llamarla λ (Lambda, es la denominación mas común pero puede ser cualquier otra letra) esto consiste en tomar dicha letra y considerarla como un parámetro y no una incógnita.
En este caso voy a tomar la incógnita “z” y llamarla λ
z=λ
5x+4y-3(λ)=13
9x+7y-6(λ)=21
Lo siguiente es pasar la incógnita que llamamos λ al otro lado porque deja de ser una incógnita. De esta forma conseguimos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
5x+4y=13+3λ
9x+7y=21+6λ
Ahora utilizando el método de reducción (por lo que vi ya lo conoces). Buscamos la forma de eliminar una incógnita manteniendo la igualdad de las ecuaciones.
Vamos a eliminar la letra "y" . Para estos multiplicamos la primer ecuación por (-7) y la segunda por (4)
5x+4y=13+3λ *(-7) -35x-28y=-91-21λ
9x+7y=21+6λ *(4) 36x+28y=84+24λ
----------------------------
x + 0y =-7 + 3λ
x = 3λ -7
Después de eliminada la incógnita "y" conseguimos el valor de "x".
Ahora debemos hallar el valor de "y" lo cual podemos hacer de dos formas, emplear el método de reducción (como ya hicimos para determinar "x") pero en este caso en ves de eliminar "y" para hallar "x" haríamos a la inversa, eliminar "x" para hallar el valor de "y"... O una solución mas fácil seria elegir cualquiera de las 2 ecuaciones iníciales y sustituir el valor de "z" y el valor de "x" que son los valores que ya conocemos (son los que están en negrita) y despejar "y" :
5x + 4y - 3z = 13
5(3λ-7) +4y - 3(λ) = 13
15λ -35 + 4y -3λ = 13
12λ - 35 + 4y = 13
12λ + 4y = 13 + 35
12λ + 4y = 48
4y = -12λ + 48
y = -12/4λ + 48/4
y = -3λ + 12
De esta forma determinamos la recta (en el espacio) que es dada como intersección de los planos por las ecuaciones iníciales.
X = 3λ – 7
Y = -3 λ + 12
Z = 1λ + 0
De los valores independientes determinamos un punto P (-7, 12,0) por el que la pasa la recta y de los coeficientes de λ determinamos el vector de la misma V (3, -3, 1).
Esto se usa en geometría del espacio como ya dije para determinar la recta (intersección de dos planos dados en las ecuaciones iníciales)
Espero te resulte de ayuda.
Saludos!
