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maximizar la siguiente funcion z=10x+20y sujeta a las siguientes restricciones 4x+2y0,y>0
1. Escribe el conjunto de oportunidades y razona si es compacto.
2. ¿Podemos asegurar que el problema tiene soluci´on ´optima?
3. Estudia si la soluci´on (#1,1,1) es factible y, si lo es, si es interior o de frontera.
4. Transforma el problema para que tenga restricciones de igualdad y variables no
negativas.
1. S = {(x,y,z) 2 IR
3
| 2x
2
+y
2
+z 10, x+y +z " 1, x 0, z " 0}.
S es cerrado porque est´a definido por restricciones de y " a partir de funciones
continuas (son continuas porque son polinomios).
S est´a acotado porque si (x,y,z) 2 S, entonces se cumple que
#3 x 0, #4 y 4, 0 z 10.
Como S es cerrado y acotado, es compacto. (Algunos hab´eis puesto cotas falsas,
como y " 1, x " 0, etc. Notad que de la segunda restricci´on no se puede extraer
ninguna cota.)
2. Podemos asegurar que hay soluci´on ´optima por elteorema de Weierstrass. Para ello
hemos de comprobar tres cosas:
(a) La funci´on objetivo es continua (porque es un polinomio).
(b) El conjunto de oportunidades es co
).
(c) El conjunto de oportunidades no es vac´ıo, porque, por ejemplo, (#1,1,1) 2 S.
3. Vemos que
2(#1)2
+1
2
+1 = 3 < 10, #1+1+1 = 1, #1 < 0, 1 > 0,
luego la soluci´on dada cumple todas las restricciones y satura una de ellas (la segunda). Por lo tanto, es una soluci´on factible de frontera.