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Sagot :
porque ∫ xe^(2x)dx
esa integral la puedes hacer por partes
uv - ∫vdu
tomamos a (u) como (x)
de acuerdo a la secuencia de LIATE para elegir u
(Logaritmicas, Inversas, Algebraicas, Trigonometricas, Exponenciales)
en este caso esta primero las algebraicas
sea entonces
u =x
du = dx
dv es el resto que quedo de la integral
dv=e^(2x)dx
v = la integral de dv
v = ∫e^(2x)dx
haciendo esta integral tenemos
∫e^(2x)dx
u = 2x
du =2dx
dx = du/2
sustituimos
∫e^(2x)dx = ∫e^u (du/2)
sacamos el 1/2
1/2∫e^udu
integramos
la integral de ∫e^udu siempre es e^u
entonces
nos queda 1/2(e^2x)
eso es
v= 1/2(e^2x)
entonces sustituimos en
uv - ∫vdu
u =x
du = dx
v= 1/2(e^2x)
dv=e^(2x)dx
x((1/2)e^2x) - ∫1/2(e^2x)dx
(x/2)(e^2x) - 1/2 ∫e^(2x)dx
nos queda otra integral pero esta ya la habiamos hecho
entonces sea ∫e^(2x)dx = 1/2(e^2x)
sustituimos
(x/2)(e^2x) - 1/2 (1/2(e^2x))
simplificamos
(x/2)(e^2x) - 1/4(e^2x)
(1/2)(xe^2x) - (1/4)(e^2x)
factorizamos un e^2x
e^2x ( ( x/2) - 1/4)
entonces el resultado seria
∫ xe^(2x)dx = e^2x ( ( x/2) - 1/4)
yo lo haria asi
e^-2x = -2ex
1=-2x*e^(1+2x) sacamos ln
ln1=ln(-2x*e^(1+2x))
0=ln(-2x*e^(1+2x)) esta igualdad se cumple si lo dentro del ln es 1 ya que ln1=0
-2x*e^(1+2x)=1
x*e^(1+2x)=-1/2 y si miras eso solo cumple para -1/2 si reemplazamos
-1/2*e^(1+2*-1/2)=-1/2*e^(1-1)=-1/2*e^0=-1/2*1=-1/2 osea que cumple la igualdad
y esa seria la solucion x=-1/2
espero te sirva
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