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Sagot :
Productos Notables
Se llaman productos notables aquellos resultados de la multiplicación que tienen características especiales, tales como:
1) Cuadrado de la suma de un binomio.
2) Cuadrado de resta de un binomio.
3) Producto de la suma por la diferencia de un binomio.
Para encontrar la fórmula que caracteriza esta expresión, primero se resolverá el cuadrado del binomio como un producto de factores iguales. Veamos algunos ejemplos:
Observando los casos anteriores, se puede llegar a la conclusión de que en el producto de la suma de dos binomios congruentes, siempre se va a tener el primer término al cuadrado, más dos veces el producto del primer término por el segundo, más el segundo término al cuadrado. Por lo tanto, se puede concluir que, de manera general, que la fórmula para encontrar el cuadrado de la suma de un binomio es:
Esta igualdad se conoce como la Primera Formula Notable, la cual se utiliza siempre que aparece una expresión semejante al término del lado derecho de la igualdad.
Por ejemplo, al aplicar la primera fórmula notable en las siguientes expresiones algebraicas, se obtiene:
Cuadrado de la resta de un binomio.
Partiendo de los ejemplos mencionados para desarrollar la primera fórmula notable, ¿qué pasaría si en los términos utilizados anteriormente se cambia la suma por la resta? Veamos:
De esta manera, se puede observar que para hallar el cuadrado de la resta de un binomio, se procede de la misma forma que para el cuadrado de la suma del binomio, de tal forma que el algoritmo para éste es semejante al de la primera fórmula notable, con la diferencia de que en este caso el segundo término del desarrollo de la fórmula, quedará negativo. Así que:
La cual, recibe el nombre de Segunda Fórmula Notable. Aplicando esta a las expresiones algebraicas respectivas se obtiene:
Producto de la suma por la diferencia de un binomio.
Similarmente a los ejercicios desarrollados en los puntos anteriores, para encontrar la fórmula del producto de la suma por la diferencia de un binomio, se procederá a realizar este producto. Así que:
Por lo tanto, se puede inferir que la formula para encontrar el productos de la suma por la diferencia de un binomio, se basa en la diferencia del primer término al cuadrado menos el segundo término al cuadrado.
Esta expresión recibe el nombre de Tercera Fórmula Notable, y al igual que las anteriores, simplifica el trabajo para dar solución a los ejercicios de ese tipo.
Para ejemplificarlo, se mostrarán algunos casos:
Productos notables
Binomio al cuadrado
Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
Binomio de resta al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25
Binomio al cubo Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =
= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =
= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
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