Lo que se nos esta pidiendo en este problema es demostrar por medio de la aplicación de Identidades Trigonométricas que se puede desarrollar el lado izquierdo de cada ecuación hasta llegar al lado derecho de la igualdad. Sabiendo esto, procedemos de la siguiente manera:
1)
[tex]Cos(A)Cotg(A)+Sen(A)=Cos(A)\frac{Cos(A)}{Sen(A)}+Sen(A)=\frac{Cos^{2}(A)+Sen^{2}(A)}{Sen(A)}[/tex]
En este punto, tomamos en cuenta que [tex]Sen^{2}(A)+Cos^{2}(A)=1[/tex], entonces
[tex]\frac{Cos^{2}(A)+Sen^{2}(A)}{Sen(A)}=\frac{1}{Sen(A)}=Csc(A)[/tex]
Por lo tanto, [tex]Cos(A)Cotg(A)+Sen(A)=Csc(A)[/tex]
2)
[tex]Csc(A)Sec(A)-Tan(A)=\frac{1}{Sen(A)}\frac{1}{Cos(A)}-\frac{Sen(A)}{Cos(A)}=\frac{Cos(A)-Sen^{2}(A)Cos(A)}{Sen(A)Cos^{2}(A)}\\\\=\frac{Cos(A)(1-Sen^{2}(A))}{Sen(A)Cos^{2}(A)}=\frac{Cos^{2}(A)}{Sen(A)Cos(A)}=\frac{Cos(A)}{Sen(A)}=Cotg(A)[/tex]
Por lo tanto, se cumple que [tex]Csc(A)Sec(A)-Tan(A)=Cotg(A)[/tex]
3)
[tex]Sec(A)Tan(A)Csc(A)=\frac{1}{Cos(A)}\frac{Sen(A)}{Cos(A)}\frac{1}{Sen(A)}=\frac{1}{Cos^{2}(A)}=Sec^{2}(A)[/tex]
Pero por Identidades Trigonométricas sabemos que [tex]Sec^{2}(A)=Tan^{2}(A)+1[/tex]
Por lo tanto, se cumple que [tex]Sec(A)Tan(A)Csc(A)=Tan^{2}(A)+1[/tex]
4)
[tex]Sen(A)Cos(A)Tan(A)=Sen(A)Cos(A)\frac{Sen(A)}{Cos(A)}=Sen^{2}(A)=1-Cos^{2}(A)[/tex]
5)
[tex]Cotg(A)Sec^{2}(A)-Cotg(A)[/tex]
En este caso, volvemos a aplicar la identidad [tex]Sec^{2}(A)=Tan^{2}(A)+1[/tex], de esta forma
[tex]Cotg(A)Sec^{2}(A)-Cotg(A)=Cotg(A)(Tan^2(A)+1)-Cotg(A)\\\\=Cotg(A)Tan^2(A)+Cotg(A)-Cotg(A)=\frac{1}{Tan(A)}Tan^{2}(A)=Tan(A)[/tex]
6)
[tex]Sen(A)+Sen(A)Cotg^{2}(A)=Sen(A)(1+Cotg^{2}(A))[/tex]
Ahora usaremos la Identidad Trigonométrica [tex]Csc^{2}(A)=Cotg^2(A)+1[/tex], por lo que
[tex]Sen(A)(1+Cotg^{2}(A))=Sen(A)Csc^{2}(A)=Sen(A)\frac{1}{Sen^2(A)}=Csc(A)[/tex]
Por lo tanto, se cumple que [tex]Sen(A)+Sen(A)Cotg^{2}(A)=Csc(A)[/tex]
7)
[tex]Tan(A)+Cotg(A)=\frac{Sen(A)}{Cos(A)}+\frac{Cos(A)}{Sen(A)}=\frac{Sen^2(A)+Cos^2(A)}{Sen(A)Cos(A)}=\frac{1}{Sen(A)Cos(A)}\\\\=Sec(A)Csc(A)[/tex]
8)
[tex]Tan(A)+Cotg(A)=\frac{Sen(A)}{Cos(A)}+\frac{Cos(A)}{Sen(A)}=\frac{Sen^2(A)+Cos^2(A)}{Sen(A)Cos(A)}=\frac{1}{Sen(A)Cos(A)}[/tex]
En este punto, multiplicaremos y dividiremos la expresión por Sen(A), de esta forma
[tex]=\frac{1}{Sen(A)Cos(A)}=\frac{1}{Sen(A)Cos(A)}\frac{Sen(A)}{Sen(A)}=\frac{Sen(A)}{Cos(A)} \frac{1}{Sen^2(A)}=Tan(A)Csc^2(A)[/tex]
Por lo tanto, se cumple que [tex]Tan(A)+Cotg(A)=Tan(A)Csc^2(A)[/tex]
9)
[tex]Cos^2(A)-Sen^2(A)=Cos^2(A)-(1-Cos^2(A))=2Cos^2(A)-1\\\\=2(1-Sen^2(A))-1=2-2Sen^2(A)-1=1-2Sen^2(A)[/tex]
10)
[tex]Tan^2(A)Sec^2(A)-tan^4(A)=\frac{Sen^2(A)}{Cos^2(A)}\frac{1}{Cos^2(A)}-\frac{Sen^4(A)}{Cos^4(A)}=\frac{Sen^2(A)}{Cos^4(A)}-\frac{Sen^4(A)}{Cos^4(A)}\\\\=\frac{Sen^2(A)}{Cos^4(A)}(1-Sen^2(A))=\frac{Sen^2(A)Cos^2(A)}{Cos^4(A)}=\frac{Sen^2(A)}{Cos^2(A)}=Tan^2(A)[/tex]
Por lo tanto, se cumple que [tex]Tan^2(A)Sec^2(A)-tan^4(A)=Tan^2(A)[/tex]
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