agrupas... (4x^2+32x)+(-9y^2+36y)=-64
sacas factor comun .. 4(x^2+8)-9(y^2+4)=-64
completas el trinomio cuadrado perfecto (sin olvidar agregar del lado izquierdo los valores para que se conserve la igualdad
4(x^2+8x+16)-9(y^2+4y+4)=-64+64-36
fatorizas...
4(x+4)^2-9(y+2)=-36
divides todo entre -36 para que obtengas un 1 del lado derecho del signo igual
(-1/9)*(x+4)^2+(1/4)*(y+2)=1
como y es positiva tienes una hiperbola vertical
en donde la ecuacion ordinaria es (((y-k)^2)/a^2)- (((x-h)^2)/b^2)=1
comparando ... con la expresion dada anteriormente .... y sabiendo que el centro esta en C(h,k )
-k=2 -> k=-2 y -h=4 ->h=-4
centro (-4,-2)
para obener los focos debemos conocer a c... obteniendola por pitagoras...
c^2=a^2+b^2
en donde tu ecuacion marca que a^2=4 y b^2=9
entonces c=(4+9)^(1/2) <--- (el un medio expresa raiz cuadrada)
ahora tenemos ... foco 1 = (h,k+c) = (-4,-2+(4+9)^(1/2))
foco 2 = (-4,-2-(4+9)^(1/2))
si ya sabiamos que a^2=4 entonces a= raiz de(4) = 2
Vertice 1= (h,k+a) = (-4,-2+2)
vertice 2= (h,k-a) = (-4,-2-2) = (-4.-4)
dale un vistazo por cualquier error suerte :D y buen dia
